133. O cilindro A de raio r , massa m , e o raio de giração k é acionado por um sistema cabo-mola fixado ao cilindro acionador B , que oscila conforme indicado. Se os cabos não deslizam sobre os cilindros, e se ambas as molas estão esticadas até o ponto em que não se afrouxem durante um ciclo de movimento, determine uma expressão para a amplitude θ m á x da oscilação em regime permanente do cilindro A .

Passo 1

Bom, primeiro vamos montar o diagrama de corpo livre do cilindro A :

Passo 2

Fazendo o somatório de momentos em relação ao ponto G :

∑ M G = I - θ ¨

Como o momento de inércia I - pode ser dado por:

I - = m k - 2

Onde m é a massa e k é o raio de giração, então:

- 2 k r θ - r 0 ϕ r = m k - 2 θ ¨

- 2 k r 2 θ + 2 k r r 0 ϕ = m k - 2 θ ¨

Rearranjando a equação e lembrando da figura que ϕ = ϕ 0 ⋅ c o s ⁡ ( ω t ) :

θ ¨ + 2 k r 2 m k - 2 θ = 2 k r r 0 ϕ 0 m k - 2 ⋅ c o s ⁡ ( ω t )

Passo 3

Se assumirmos que:

θ = θ m á x ⋅ c o s ⁡ ( ω t )

E substituirmos na fórmula do item anterior e resolvermos para θ m á x , teremos:

θ m á x = ϕ 0 r 0 / r 1 - ω ω n 2

Onde ω n é a frequência natural do sistema e é dada por:

ω n = r k - 2 k m

Onde k - é o raio de giração, k é a constante elástica das molas, m a massa do cilindro e r o raio do cilindro.

Resposta

A expressão para a amplitude máxima θ m á x é:

θ m á x = ϕ 0 r 0 / r 1 - ω ω n 2

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