134. O instrumento sísmico mostrado está fixado no convés de um navio próximo da popa, onde a vibração induzida pela hélice é mais pronunciada. O navio possui uma única hélice com três pás que gira a 180   r p m e opera parcialmente fora da água, consequentemente provocando um choque no instante em que cada pá rompe a superfície. O fator de amortecimento do instrumento é ζ = 0,5 , e sua frequência natural não amortecida é de 3   H z . Se a amplitude medida de A em relação a sua estrutura é de 0,75   m m , calcule a amplitude de δ 0 da vibração vertical do convés.

Passo 1

Bom, primeiro vamos lembrar a fórmula da amplitude máxima para um sistema amortecido:

X b = ω / ω n 2 1 - ω ω n 2 2 + 2 ζ ω ω n 2

Onde X é a amplitude medida de A em relação à estrutura, b é o valor de δ 0 que queremos, ω é a frequência das pás, ω n é a frequência natural não amortecida e ζ é o fator de amortecimento.

Passo 2

Antes de substituirmos os valores na fórmula, devemos trocar a unidade da frequência das pás de r p m por H z , lembrando de multiplicar por 3 , pois temos 3 pás:

ω = 180   r p m 60 × 3 = 9   H z

A razão ω / ω n será:

ω ω n = 9   H z 3   H z = 3

Passo 3

Substituindo todos os valores na fórmula da amplitude, então temos:

( 0,00075   m ) δ 0   = 3 2 1 - 3 2 2 + 2 ( 0,5 ) ( 3 ) 2

δ 0   = 1 - 3 2 2 + 2 0,5 3 2 ( 0,00075   m ) 3 2

δ 0   = 1 - 9 2 + 3 2 ( 0,00075   m ) 9

δ 0   = - 8 2 + 9 ( 0,00075   m ) 9

δ 0   = 64 + 9 ( 0,00075   m ) 9

δ 0   = 73 ( 0,00075   m ) 9

δ 0   ≅ ( 8,54 ) ( 0,00075   m ) 9

δ 0   ≅ 0,000712   m = 0,712   m m

Resposta

A amplitude de vibração vertical do convés será:

δ 0 = 0,712   m m

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