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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 14.1 - Ex. 26

Um pequeno saco de pancadas para exercícios de boxe é aproximadamente do tamanho e do peso da cabeça de uma pessoa e é suspendida por uma corda ou uma corrente muito curta. Estime a frequência natural das oscilações desse saco de pancadas.

Passo 1

Bom, vamos considerar o saco de pancadas como uma esfera, e supor que a distância dessa esfera até o eixo é igual ao raio da esfera. Pela equação de frequência de um oscilador de torção:

f 0 = 1 2 π M g D I e i x o

Passo 2

O momento de inercia em relação ao eixo é diferente do momento de inércia que passa pelo centro de massa da esfera, por isso vamos precisar utilizar o teorema dos eixos paralelos:

I e i x o = I c m + M D 2

Sendo que D é a distância do centro de massa até o eixo ao qual buscamos o momento de inercia, que seria a distância da esfera até o eixo mais o raio da esfera:

D = R + R = 2 R

E então o momento de inercia da esfera para o eixo será:

I e i x o = 2 5 M R 2 + M 2 R 2 = 4.4 M R 2

Passo 3

Supondo que o saco tenha 10 cm de raio, vamos substituir os valores na equação do Passo 1:

f 0 = 1 2 π M g 2 R 4.4 M R 2

Simplificando:

f 0 = 1 2 π g 2.2 R

Substituindo os valores de R e g:

f 0 = 1 2 π 9.81 m / s 2 2.2 ( 0.10 m ) ≈ 1   H z

Resposta

f 0 ≈ 1   H z

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