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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 5

Uma bola de massa m de massa fresca de pão cai de uma altura h sobre o prato de uma balança de mola e fica grudada nele. A constante de mola é k , e as massas da mola e do prato podem ser deprezadas. (a) Qual é a amplitude de oscilação do prato? (b) Qual é a energia total de oscilação?

Passo 1

(a) Quando cair sobre a mola, a massa vai entrar em movimento harmônico simples. Podemos descrever esse movimento pela seguinte equação geral:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Onde ω 2 = k / m . Para encontrar o valor de A , precisamos procurar as condições iniciais.

Vamos definir que x = 0 está no ponto de equilíbrio. Esse é o ponto em que o peso da massa está equilibrado com a força elástica da mola:

k Δ x = m g

Δ x = m g k

Isso quer dizer que a mola tem que ser distorcida por m g / k para entrar em equilíbrio:

Então a posição inicial da massa é:

x 0 = m g k

Essa é nossa primeira condição inicial.

Passo 2

Para encontrar a velocidade inicial só precisamos usar a conservação de energia.

A massa cai por uma altura h até atingir a mola. Isso quer dizer que ela converte energia potencial gravitacional em energia cinética:

m g h = 1 2 m v 2

v = 2 g h

Então nossa segunda condição inicial é:

v 0 = x ˙ 0 = 2 g h

Passo 3

Agora é só aplicar essas duas condições inicias para encontrar A :

x 0 = m g k x ˙ 0 = 2 g h

Começando pela primeira:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

x 0 = A cos ⁡ ϕ = m g k

E para aplicar a segunda temos que derivar a função x t :

x ˙ t = - A ω sen ⁡ ω t + ϕ

x ˙ 0 = - A ω sen ⁡ ( ϕ ) = 2 g h

Então:

- A ω sen ⁡ ( ϕ ) = 2 g h A cos ⁡ ( ϕ ) = m g k

Vamos isolar o seno e o cosseno, e elevar tudo ao quadrado:

sen 2 ⁡ ϕ = 2 g h A ω 2 cos 2 ⁡ ϕ = m g k A 2

Agora podemos somar as duas equações:

sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 2 g h A ω 2 + m g k A 2 = 1

Então:

A 2 = 2 g h ω 2 + m 2 g 2 k 2

Lembrando que ω 2 = k / m :

A 2 = 2 g h m k + m 2 g 2 k 2

A 2 = m g k 2 1 + 2 k h m g

A = m g k 1 + 2 k h m g

Passo 4

(b) Agora vamos lembrar da fórmula para a energia total de um oscilador harmônico:

E T = k A 2 2

E T = k 2 m g k 1 + 2 k h m g 2

E T = m g 2 2 k 1 + 2 k h m g

E T = m g 2 2 k + m g h

Resposta

(a) A amplitude de oscilação é A = m g k 1 + 2 k h m g .

(b) A energia total é E T = m g 2 2 k + m g h .

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