Um pêndulo balístico de madeira, de massa igual a 10k g , suspenso por um fio de 1m de comprimento, é atingido no instante t = 0 por uma bala de 10g , viajando à velocidade de 300m / s , que fica encravada nele. Ache o ângulo θ (em rad) entre o fio e a vertical como função de t .

O ângulo entre o fio e a vertical é θ t = 0,096 sen ⁡ 3,1t .

Enunciado

Vamos começar fazendo um desenho da situação antes e depois da colisão:

Vamos encontrar a velocidade usando a conservação de momento linear:

Beleza, essa é uma das condições iniciais que nós vamos usar para achar a função .

Agora vamos lembrar da fórmula geral para o ângulo de um pêndulo simples (que é simplesmente um oscilador harmônico):

Onde a frequência angular é:

Vimos que a velocidade inicial é , então:

Podemos derivar para encontrar :

E no instante :

Essa é nossa primeira condição inicial. Além disso, sabemos que a posição angular inicial é , então:

Vamos juntar as duas em um sistema:

Agora vamos resolver esse sistema para encontrar e . Pela primeira equação temos:

Substituindo isso na segunda:

Então:

E como :

O ângulo entre o fio e a vertical é .