Um pêndulo balístico de madeira, de massa igual a 10   k g , suspenso por um fio de 1   m de comprimento, é atingido no instante t = 0 por uma bala de 10   g , viajando à velocidade de 300   m / s , que fica encravada nele. Ache o ângulo θ (em rad) entre o fio e a vertical como função de t .

Passo 1

Vamos começar fazendo um desenho da situação antes e depois da colisão:

Vamos encontrar a velocidade v 0 usando a conservação de momento linear:

p i n i c i a l = p f i n a l

0,010 300 = 10 + 0,010 v 0

v 0 = 0,010 10 + 0,010 300

v 0 ≅ 0,30   m / s

Beleza, essa é uma das condições iniciais que nós vamos usar para achar a função θ t .

Passo 2

Agora vamos lembrar da fórmula geral para o ângulo θ t de um pêndulo simples (que é simplesmente um oscilador harmônico):

θ t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Onde a frequência angular é:

ω = g l = 9,8 1 ≅ 3,1   r a d / s

Vimos que a velocidade inicial é v 0 = 0,30   m / s , então:

v 0 = l   θ ˙ 0 = 0,30

θ ˙ 0 = 0,30 l = 0,30   m / s 1,00   m = 0,30   s - 1

Podemos derivar θ t para encontrar θ ˙ t :

θ ˙ t = - A ω sen ⁡ ω t + ϕ

E no instante t = 0 :

θ ˙ 0 = - A ω sen ⁡ ϕ = 0,30

Essa é nossa primeira condição inicial. Além disso, sabemos que a posição angular inicial é θ 0 = 0 , então:

θ 0 = A cos ⁡ ϕ = 0

Vamos juntar as duas em um sistema:

A cos ⁡ ϕ = 0 - A ω sen ⁡ ϕ = 0,30

Passo 3

Agora vamos resolver esse sistema para encontrar A e ϕ . Pela primeira equação temos:

A cos ⁡ ϕ = 0         ⇒         ϕ = π 2

Substituindo isso na segunda:

- A ω sen ⁡ π 2 = 0,30

A = - 0,30 ω

Então:

θ t = A cos ⁡ ω t + ϕ

θ t = - 0,30 ω cos ⁡ ω t + π 2

E como cos ⁡ ω t + π 2 = - sen ⁡ ω t :

θ t = 0,30 3,1 sen ⁡ 3,1   t

θ t ≅ 0,096 sen ⁡ 3,1 t

Resposta

O ângulo entre o fio e a vertical é θ t = 0,096 sen ⁡ 3,1   t .

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