Enunciado

69. A cabeça de 15   g de um boneco que mexe com a cabeça oscila em MHS com freqüência de 4,0   H z .

a. Qual é a constante elástica da mola sobre a qual a cabeça está montada?

b. Suponha que a cabeça seja empurrada 2,0   c m contra a mola e, a seguir, seja liberada. Qual é a velocidade máxima que a cabeça atinge enquanto oscila?

c. A amplitude das oscilações da cabeça diminui para 0,5   c m em 4,0   s . Qual é a constante de amortecimento da cabeça?

Passo 1

Opa! E aí brother! Aqui nós de novo! Seu parceiro incansável das questões de Física!

a) Se liga só! Essa primeira letra é moleza!

Para obter a frequência de oscilação, basta usar a fórmula abaixo para oscilação em um sistema massa-mola, que é exatamente o nosso caso...

f = 1 2 π k m

E como o que queremos é a constante elástica, basta isolar o k :

f 2 = 1 4 π 2 ⋅ k m

k = 4 π 2 m f 2

Onde substituindo os valores numéricos de cada variável...

k = 4 π 2 m f 2

k = 4 π 2 ( 0,015   k g ) ( 4,0   H z ) 2

k = 9,475   N / m

Passo 2

b) Nesse item, para achar a velocidade máxima basta fazer...

v m á x = ω A

Sendo que;

ω = k m

Logo, ficamos com...

v m á x = ω A

v m á x = k m A

v m á x = 9,475   N / m   0,015   k g ⋅ ( 0,020   m )

v m á x = 0,50   m / s

Passo 3

c) Por último, a alternativa final nos diz que a amplitude das oscilações da cabeça diminui para 0,5   c m em 4,0   s e nos pede a constante de amortecimento da cabeça.

Ora bolas! Para descobrir isso, basta utilizar a fórmula abaixo

A t = A 0 e - b t 2 m

Onde A ( t ) é a amplitude depois do decaimento e A 0 é a amplitude inicial. Desse modo, substituindo os valores pertences a cada variável, obtemos que...

A t = A 0 e - b t 2 m

( 0,5   c m ) = ( 2,0   c m ) e - b ⋅ ( 4,0   s ) 2 ⋅ 0,015   k g

e - b ⋅ ( 4,0   s ) 2 ⋅ 0,015   k g = 0,25

Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados...

ln ⁡ e - b ⋅ ( 4,0   s ) 2 ⋅ 0,015   k g = ln ⁡ 0,25

- b ⋅ 4,0   s 2 ⋅ 0,015   k g = ln ⁡ 0,25

b = - 2 ⋅ 0,015   k g ⋅ ln ⁡ 0,25 4,0   s

b = 0,0104   k g / s

Obtemos o valores da constante!

E finalizamos aqui o nosso exercício!

Resposta

a) k = 9,475   N / m

b) v m á x = 0,50   m / s  

c) b = 0,0104   k g / s

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