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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 10

Um carrinho num trilho de ar preso a uma mola oscila com período de 1,5 s. Em t = 0   s , o carrinho está 5,00 cm à esquerda da posição de equilíbrio e se deslocando para a direita a 36,3 cm/s.

a. Qual é a constante de fase?

b. Qual é a fase em t =   0 s, 0,5 s, 1,0 s e 1,5 s?

Passo 1

A posição de um corpo em MHS pode ser modelada como sendo:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ 0

Foi dado no enunciado:

  • O período T = 1,5   s .
  • x 0 = - 5,00   c m e está se deslocando para a direita;
  • v 0 = + 36,3   m / s .

    • A função que descreve a velocidade pode ser obtida derivando-se a posição:

    v t = d x d t v t = d d t A cos ⁡ ω t + ϕ 0 v t = - A ω sin ⁡ ω t + ϕ 0

    Passo 2

    Para calcularmos ω , basta lembrar da relação entre ω e T :

    ω = 2 π T ω = 2 π 1,5 ω = 4 π 3 r a d s ω = 240 ° / s

    Passo 3

    Notemos que em t = 0 , temos:

    x 0 = A cos ⁡ ϕ 0 - 5,00 = A cos ⁡ ϕ 0

    Além disso,

    v 0 = - A ω sin ⁡ ϕ 0 36,3 = - A ω sin ⁡ ϕ 0

    Das relações acima, notemos que cos ⁡ ϕ 0 < 0 e sin ⁡ ϕ 0 < 0 . Logo, ϕ 0 está localizado no 3° quadrante do ciclo trigonométrico.

    Dividindo as relações acima, temos:

    - 36,3 - 5,00 = A ω sin ⁡ ϕ 0 A cos ⁡ ϕ 0 7,26 = 4 π 3 tan ⁡ ϕ 0 tan ⁡ ϕ 0 = 1,73 ϕ 0 = 240 °

    Dessa forma, temos

    - 5,00 = A cos ⁡ 240 ° A = 10   c m

    Logo, temos que

    x t = 10 cos ⁡ 4 π 3 t + 240 °

    Passo 4

  1. Dos cálculos acima, temos que ϕ 0 = 240 ° .

    2. Passo 5

  2. A fase é dada por ϕ t = 240 ° t + 240 ° . Dessa forma, temos:
  • Em t = 0 ⟹ ϕ 0 = 240 ° .
  • Em t = 0,5   s ⟹ ϕ 0,5 = 360 ° ≡ 0 ° (pois em 360° que é uma volta completa, voltamos ao 0°);
  • Em t = 1,0   s ⟹ ϕ 1,0 = 480 ° ≡ 120 ° (pois percorremos 360 ° + 120 ° = 480 ° , ou seja, uma volta completa mais 120 ° ).
  • Em t = 1,5   s ⟹ ϕ 1,5 = 600 ° ≡ 240 ° (pois percorremos 360 ° + 240 ° = 600 ° , ou seja, uma volta completa mais 240 ° ).

    • Observação: o símbolo ≡ significa “equivalente”; assim, 360 ° ≡ 0 ° significa que 360 ° é equivalente a 0°. Tal notação é bastante utilizada na aritmética modular!

    Resposta

    1. ϕ 0 = 240 ° .
    2. ϕ 0 = 240 ° ϕ 0,5 = 0 ° ϕ 1,0 = 120 ° ϕ 1,5 = 240 °
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