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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.1 - Ex. 8

Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição x ( t ) aparece na figura se a função posição é da forma x = x m c o s ⁡ ( ω t + φ ) ? A escala do eixo vertical é definida por x s = 6,0   c m .

Passo 1

Show de bolinhas galerinha bonita, o grande desafio aqui é entender bem essa função da posição, expressa como:

x ( t ) = x m . cos ⁡ ( ω t - φ )

A constante de fase é esse φ aí.

x t = x m . cos ⁡ ω t - φ ⏝ c. fase

A primeira informação que a gente pode tirar do gráfico é olhando o ponto em que ele cruza o eixo y .

Já que o enunciado diz que o x s = 6,0   cm , cada uma das três linhas horizontais ali “vale” 2,0   cm , então o gráfico cruza o eixo y nas coordenadas:

( 0   ,   - 2,0 ) cm

Substituindo isso na função, obtemos que:

x 0 = 2,0

Logo:

- 2,0 = x m . c o s ⁡ ( ω 0 - φ )

2,0 = x m . cos ⁡ ( φ )

Agora falta achar o valor de x m .

Passo 2

Belezoca, o x m é simplesmente o deslocamento máximo do oscilador. Aquele gráfico do enunciado representa o deslocamento em função do tempo. Qual o valor máximo que ele atinge?

Exatamente meu patrão, é o próprio x s = 6,0   cm , ou seja:

2,0 = x m . cos ⁡ ( φ )

2,0 = 6,0 . cos ⁡ φ

Tal que:

cos ⁡ φ = 2,0 6,0

cos ⁡ φ = 1 3

E a resposta vai ser:

φ = cos - 1 ⁡ ( 1 / 3 )

Mas se a gente jogar isso numa calculadore, obtemos os valores para φ dados como

φ ≈ 1 , 23   rad

ou

φ = ± 4,37   rad

Mas podemos excluir φ = 4,37   rad , pois esse ângulo leva a uma inclinação positiva da curva em t = 0 , mas através do gráfico, podemos ver que a inclinação em t = 0 é negativa!

Resposta

A constante de fase do oscilador é φ = cos - 1 ⁡ ( 1 / 3 )   .

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