Enunciado
Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 9
Um densímetro flutuando em equilíbrio na agua tem um volume submerso; a área da secção transversal da porção cilíndrica é . Empurrando-o verticalmente para baixo, o desímetro entra em pequenas oscilações na direção vertical. Calcule a frequência angular de oscilação.
Passo 1
Para encontrar a frequência das oscilações nós precisamos montar uma EDO que descreve essa situação. Vamos começar com um desenho:
Agora vamos usar a segunda lei de Newton. A força resultante sobre o densímetro é:
Então:
Passo 2
Precisamos encontrar uma fórmula para o empuxo. Se o volume submerso fosse constante e igual a , a fórmula seria assim:
Mas o volume não é constante! Para pequenas oscilações, podemos calcular essa variação usando a área transversal daquele trecho cilíndrico e a profundidade :
Ou seja, quando aumenta, o volume submerso e o empuxo também aumentam, e vice-versa.
Passo 3
Agora vamos substituir isso na equação lá de cima:
Reorganizando um pouco:
O termo do lado direito é constante (vamos chamar de )! Então temos a equação de um oscilador harmônico:
E a frequência das oscilações é:
Passo 4
Não podemos deixar a resposta em termos de e , já que eles não foram dados no enunciado.
Inicialmente, o densímetro estava em equilíbrio, com um volume submerso. Nesse instante o empuxo estava em equilíbrio com a força peso, então:
Substituindo isso na nossa resposta anterior:
Resposta
A frequência angular das oscilações é .