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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 73

As duas estrelas de um sistema estelar binário têm massas de 2,0 × 10 30 kg e 6,0 × 10 30 kg. Elas estão separadas por 2,0 × 10 12 m de distância. Qual é: a. O período de rotação do sistema, em anos? b. O valor de velocidade de cada estrela?

Passo 1

Em um sistema binário, as estrelas ficam rodando ao redor do centro de massa. O centro de massa será o centro da órbita circular de cada uma das estrelas. Note que a estrela mais massiva terá o menor raio de órbita (pois o centro de massa está mais perto do corpo mais massivo), enquanto que a estrela menos massiva terá maior raio de órbita, como ilustrado abaixo.

Devemos ser capazes de calcular a posição do centro de massa, de modo a conseguir calcular r 1 e r 2 . Vamos lá...

Passo 2

Considerando a partícula m 1 como sendo a origem, vamos tomar um eixo X como sendo a reta que passa por m 1 e m 2 .

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2 x C M = 0 ⋅ 2,0 × 10 30 + 2,0 × 10 12 × 6,0 × 10 30 2,0 × 10 30 + 6,0 × 10 30 x C M = 1,5 × 10 12   m

Assim, temos que r 1 = 1,5 × 10 12   m e r 2 = 2,0 × 10 12 - r 1 = 0,5 × 10 12   m .

Passo 3

A partícula m 1 sofrerá uma força gravitacional devido a partícula m 2 :

F = G m 1 m 2 r 1 + r 2 2

Essa força gravitacional será a responsável por ser a componente centrípeta. Assim, para o corpo m 1 , que gira com raio r 1 , temos:

G m 1 m 2 r 1 + r 2 2 = m 1 v 1 2 r 1 v 1 = G m 2 r 1 r 1 + r 2 2

Da mesma maneira, encontramos que:

v 2 = G m 1 r 2 r 1 + r 2 2

O período de translação será dado por:

  1. Para m 1 :

    2. T 1 = 2 π r 1 v 1 = 2 π r 1 r 1 + r 2 2 G m 2 r 1 = 2 π r 1 r 1 + r 2 2 G m 2

  2. Para m 2 :

T 2 = 2 π r 2 v 2 = 2 π r 2 r 1 + r 2 2 G m 1 r 2 = 2 π r 2 r 1 + r 2 2 G m 1

Agora, nos resta substituir os dados numéricos.

  1. Temos:

    2. T 1 = 2 π 1,5 × 10 12 2,0 × 10 12 2 6,67 × 10 - 11 ⋅ 6,0 × 10 30 = 7 , 693 × 10 8 s = 24   a n o s

    onde usamos o fato que 1 ano possui 365 × 86400   s .

    T 2 = 2 π 0,5 × 10 12 2,0 × 10 12 2 6,67 × 10 - 11 ⋅ 2,0 × 10 30 = 7,693 × 10 8   s = 24   a n o s

    Note que T 1 = T 2 !! Tal resultado não é coincidência! O período de revolução de estrelas em um sistema binário deve ser sempre o mesmo.

  2. Temos

v 1 = 6,67 × 10 - 11 6,0 × 10 30 1,5 × 10 12 2,0 × 10 12 2 = 12,3 × 10 3   m / s

v 2 = 6,67 × 10 - 11 2,0 × 10 30 0,5 × 10 12 2,0 × 10 12 2 = 4,1 × 10 3   m / s

Resposta

  1. O período das duas estrelas é 24 anos.
  2. v 1 = 12,3 × 10 3   m / s (mais leve); v 2 = 4,1 × 10 3   m / s (mais pesada).
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