Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 96
No romance de ficção cientifica Da Terra à Lua, escrito em 1865, Júlio Verne conta a história de três astronautas que são lançados em direção à Lua por um gigantesco canhão. Segundo Verne, a cápsula de alumínio com os astronautas é acelerada por uma carga de algodão-pólvora até uma velocidade de ao longo dos do cano do canhão.
(a) Qual seria a aceleração média da cápsula e dos astronautas no cano do canhão em unidades de ? (b) Os astronautas poderiam resistir a essa aceleração? Uma versão moderna do lançamento de uma espaçonave por um canhão (embora sem passageiros) foi proposta na década de 1990. Nessa versão moderna, chamada de canhão SHARP (do inglês Super High Altitude Research Project), a combustão de metano empurra um pistão ao longo do tubo do canhão, comprimindo o gás hidrogênio, que, por sua vez, impulsiona o foguete. O foguete percorre uma distância de dentro do tubo de lançamento, atingindo uma velocidade de . Uma vez lançado, o foguete pode usar motores para ganhar mais velocidade. (c) Qual é a aceleração média do foguete dentro do tubo de lançamento em unidades de ? (d) Que velocidade adicional seria necessária (usando motores) para que o foguete entrasse em órbita da Terra a uma altitude de ?
Passo 1
Temos um cano de , ao longo do qual a velocidade de uma cápsula de alumínio vai do até .
Podemos calcular a aceleração média usando a equação de Torricelli:
Ou, em unidades de :
Passo 2
A letra (b) pergunta se os astronautas poderiam sobreviver a essa aceleração.
Aqui, o livro supõe que você já resolveu as questões anteriores, em que víamos exemplos em que uma aceleração dessa magnitude era suficiente para matar uma pessoa.
Portanto, a resposta é não.
Passo 3
Na letra (c) podemos fazer mais ou menos a mesma coisa que fizemos na letra (a).
Dessa vez temos um tubo de , e a velocidade final de .
Usando a mesma equação:
Como :
Ou, em termos de :
Passo 4
Considerando que o foguete sai do tubo com uma velocidade de , queremos saber quanto a mais de velocidade ainda é preciso para se manter em órbita a uma altitude de .
Vamos usar a fórmula que calcula a velocidade de uma órbita:
Substituindo os valores (lembrando de somar o raio da Terra à altitude):
Beleza, agora precisamos saber com que velocidade ele chega nessa altitude ao sair do cano com a velocidade de .
Passo 5
Usando a lei de conservação de energia, temos:
Agora é só calcular a diferença entre as duas velocidades:
Resposta
(a)
(b) Não sobreviveriam.
(c)
(d)