Um fio de arame de comprimento 2 l é dobrado ao meio, formando um ângulo de 60 ° , e é suspenso pelo vértice O , oscilando num plano vertical. Calcule o período τ de pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio.

Enunciado

Vamos começar determinando o momento de inércia do sistema em relação ao ponto . Podemos tratar cada pedaço do arame como uma barra homogênea:

Nós conhecemos o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro:

E podemos usar o teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento em relação a um eixo que passa pela extremidade:

E como temos dois arames, o momento de inércia total do sistema é:

Agora vamos pensar nas forças que agem sobre o sistema:

Vamos aproximar e substituir a expressão para o momento de inércia:

Ainda falta encontrar a posição do centro de massa.

Os dois arames têm o mesmo comprimento, e estão separados por um ângulo de . Ou seja, eles formam um triângulo equilátero.

Vamos lembrar da fórmula para a altura desse triângulo:

E o centro de massa está na metade da altura desse triângulo, então sua distância até o ponto é:

Vamos substituir isso na equação lá de cima:

Que é a equação de um oscilador com a seguinte frequência angular:

E o seguinte período:

O período de pequenas oscilações em torno do equilíbrio é .