Um objeto em MHS oscila com período de 4,0   s e amplitude de 10   c m . Quanto tempo transcorrerá para que o objeto se mova de x = 0,0   c m para x = 6,0   c m ?

Passo 1

O enunciado fala para a gente que o movimento é harmônico simples (MHS), com isso, podemos usar a equação para a posição do objeto

x t = A c o s ( ω t + ϕ 0 )

E como a frequência angular pode ser escrita como:

ω = 2 π T

Nossa equação para a posição passa a ser:

x t = A c o s 2 π t T + ϕ 0

Passo 2

A questão deu para a gente a amplitude A , o período T e pede quanto tempo passou até que o objeto esteja em x = 6,0   c m partindo de x 0 = 0,0   c m .

A gente pode dizer que para o caso em que o objeto está em x 0 , o tempo é zero, porque está no inicio do movimento, assim:

x 0 = A c o s 2 π ( 0 ) T + ϕ 0 = 0

Podemos dividir tudo por A :

c o s 2 π ( 0 ) T + ϕ 0 = 0

Então:

c o s ϕ 0 = 0

E ϕ 0 vai ser:

ϕ 0 = - π / 2

Veremos que mais para frente, qualquer valor positivo da fase vai fazer com que o tempo fique negativo, o que não faz sentido para a gente, por isso pegamos o primeiro valor negativo que zera a função cosseno.

Passo 3

Agora basta usarmos de novo a equação, só que agora para x = 6,0   c m :

x t = A c o s 2 π t T + ϕ 0 = 6,0   c m

Substituindo a fase ϕ 0 , a amplitude e o período que o enunciado deu para a gente:

10   c m c o s 2 π t 4,0   s + π 2 = 6,0   c m

Passando 10   c m para a direita:

c o s 2 π t 4,0   s - π 2 = 6 10 = 0,6

Para isolarmos t precisamos passar o cosseno para o outro lado através da função arco:

2 π t 4,0   s - π 2 = arccos ⁡ 0,6 = 0,9273

Agora podemos isolar t :

t = 0,9273 - π 2 2 π ( 4,0   s )

Resolvendo o que sobrou:

t = 1,59   s

Resposta

t = 1,59   s

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