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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 4

Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v 0 . Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 3,68   m , após 1 segundo. (a) Qual é valor de v 0 ? (b) Se o oscilador tivesse um deslocamento inicial x 0 = 2   m com a mesma velocidade inicial v 0 , qual seria o valor de x no instante t ?

Passo 1

No caso do oscilador criticamente amortecido, temos a seguinte solução geral:

x t = e - γ 2 t a + b t

E o enunciado deu duas condições iniciais:

x 0 = 0 x ˙ 0 = v 0

Vamos começar aplicando a primeira condição:

x 0 = e 0 a + b 0 = a = 0

Então:

x t = e - γ 2 t b t

E a primeira derivada é:

x ˙ t = - γ 2 e - γ 2 t b t + b e - γ 2 t

Aplicando x ˙ 0 = v 0 :

x ˙ 0 = - γ 2 e - γ 2 t b 0 + b e - γ 2 0 = b = v 0

Então a nossa função é:

x t = e - γ 2 t v 0 t

Passo 2

(a) O enunciado diz que o oscilador passa pelo seu deslocamento máximo de 3,68   m no instante t = 1   s :

x 1 = v 0 e - γ 2 = 3,68

Mas para podermos calcular v 0 a partir disso precisamos determinar γ também.

Se o deslocamento está em um ponto de máximo em t = 1 , podemos dizer que:

x ˙ 1 = 0

Derivando a função x ( t ) , temos:

x t = e - γ 2 t v 0 t

x ˙ t = - γ 2 v 0 t   e - γ 2 t + v 0 e - γ 2 t

x ˙ 1 = - γ 2 v 0   e - γ 2 + v 0 e - γ 2 = 0

Dividindo os dois lados por v 0 e - γ 2 :

- γ 2   + 1 = 0

γ = 2   s - 1

Então, voltando à equação que escrevemos lá em cima:

x 1 = v 0 e - 2 2 = 3,68

v 0 = 3,68   e

v 0 ≅ 10   m / s

Passo 3

(b) Agora as nossas condições iniciais vão mudar. Continuamos com a mesma solução geral de antes:

x t = e - γ 2 t a + b t

E as condições iniciais são:

x 0 = 2   m x ˙ 0 = v 0 = 10   m / s

Começando com a primeira condição, temos:

x 0 = e 0 a + b 0 = a

a = 2   m

E para aplicar a segunda precisamos calcular a derivada x ˙ t :

x t = e - γ 2 t a + b t

x ˙ t = - γ a 2 e - γ 2 t - γ 2 e - γ 2 t b t + b e - γ 2 t

E no instante x ˙ 0 :

x ˙ 0 = - γ a 2 e 0 + b e 0 = 10

Substituindo a = 2   m e γ = 2   s - 1 :

- 2 + b = 10

b = 12   m / s

E então o deslocamento é:

x t = e - t 2 + 12 t

Resposta

(a) v 0 = 10,0   m / s .

(b) Nesse caso temos x t = e - t 2 + 12 t . Com x em metros e t em segundos.

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