Um pêndulo, em seu laboratório de física, tem um comprimento de 75c m e uma bolinha de 15g de massa. Para iniciar o balanço da bolinha, você coloca um ventilador próximo à ela, soprando uma corrente horizontal de ar. Enquanto o ventilador está ligado, a bolinha fique em equilíbrio com o pêndulo deslocado de um ângulo de 5,0 ° com a vertical. O vento é soprado pelo ventilador a 7,0m / s . Você desliga o ventilador e deixa que o pêndulo oscile. (a) Supondo que a força de arraste do ar seja da forma - b v , determine a constante de tempo de decaimento τ deste pêndulo. (b) Quanto tempo levará para a amplitude do pêndulo chegar a 1,0 ° ?

Enunciado

Precisamos encontrar uma expressão para a constante de tempo nesse caso especial. Vamos analisar o torque resultante agindo sobre o pêndulo:

Onde é a aceleração angular do pêndulo.

O torque gerado pela força peso, quando o pêndulo está deslocado por um ângulo em relação à horizontal é:

Já que a força de arraste aponta sempre na horizontal, e estamos considerando pequenas oscilações, o torque da força de arrasto é:

E favorece o aumento do ângulo , e favorece o retorno ao equilíbrio, por isso os sinais.

Então:

E o momento de inércia do pêndulo simples é:

Mas pelo enunciado, a força de arrasto é:

Então a nossa equação é:

E para pequenos ângulos, podemos usar a seguinte aproximação:

E essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, e nós já conhecemos a forma geral da sua solução:

Onde:

(a) Agora vamos fazer um esquema da situação:

Sendo que o pêndulo está em equilíbrio quando o deslocamento angular é máximo, então:

Ficamos com o seguinte sistema:

Dividindo a primeira equação pela segunda:

E agora podemos substituir essa expressão para na fórmula que encontramos para :

(a) Vamos olhar de novo para a nossa equação para :

E a amplitude é todo o fator que está multiplicando o cosseno, então:

Onde , e , queremos enconrar o valor de para o qual :

Tirando o logaritmo dos dois lados:

(a) .

(b) .