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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 10

Para um oscilador de massa m , frequência livre ω 0 e constante de amortecimento γ , sujeito à força externa F = F 0 cos ⁡ ω t , calcule: (a) O valor exato de ω para o qual a amplitude de oscilação estacionária A é máxima, e o valor máximo de A ; (b) O valor exato de ω para o qual a velocidade tem a amplitude máxima, e o valor do máximo.

Passo 1

(a) Vamos usar a fórmula para a amplitude de um oscilador forçado amortecido:

A ω = F 0 m ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

E queremos achar o valor de ω que maximiza essa amplitude. Para encontrar esse ponto de máximo, vamos derivar e igualar a zero:

d d ω A ω = 0

F 0 m       d d ω 1 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 = 0

d d ω 1 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 = 0

Agora temos que usar a regra da cadeia:

- 1 2 1 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 3 2 d d ω ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 = 0

O termo nos parênteses do lado esquerdo é sempre diferente de zero, então podemos dividir os dois lados da equação por ele:

d d ω ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 = 0

- 4 ω ω 0 2 - ω 2 + 2 γ 2 ω = 0

Vamos considerar ω ≠ 0 , então:

- 4 ω 0 2 - ω 2 + 2 γ 2 = 0

ω m á x = ω 0 2 - γ 2 2

Ok, esse é o valor que maximiza a amplitude.

Passo 2

Agora vamos calcular qual é esse valor máximo atingido pela amplitude:

A m á x = A ω m á x

A m á x = F 0 m ω 0 2 - ω 0 2 - γ 2 2 2 + γ 2 ω 0 2 - γ 2 2

A m á x = F 0 m γ 4 4 + ω 0 2 γ 2 - γ 4 2

A m á x = F 0 m γ ω 0 2 - γ 2 4

Passo 3

(b) Assim como A ω dá a amplitude do deslocamento, podemos definir a “amplitude da velocidade” como o produto:

V ω = ω A ω

V ω = ω F 0 m ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

V ω = F 0 m ω 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2

E mais uma vez temos que achar um ponto crítico para maximizar essa função:

V ' ω = 0

Podemos tirar as constantes imediatamente. E como a raiz quadrada é sempre crescente, dá no mesmo simplesmente maximizar o termo que está dentro dela:

d d ω ω 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 = 0

Temos que usar a regra do quociente:

2 ω ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 - ω 3 - 4 ω 0 2 - ω 2 + 2 γ 2 ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 2 = 0

Agora vamos multiplicar os dois lados pelo denominador:

2 ω ω 0 2 - ω 2 2 + γ 2 ω 2 - ω 3 - 4 ω 0 2 - ω 2 + 2 γ 2 = 0

2 ω ω 0 4 - 2 ω 2 ω 0 2 + ω 4 + γ 2 ω 2 - ω 3 - 4 ω 0 2 + 4 ω 2 + 2 γ 2 = 0

2 ω ω 0 4 - 4 ω 3 ω 0 2 + 2 ω 5 + 2 γ 2 ω 3 + 4 ω 3 ω 0 2 - 4 ω 5 - 2 γ 2 ω 3 = 0

2 ω ω 0 4 - 2 ω 5 = 0

Vamos dividir por ω (considerando ω ≠ 0 ):

2 ω 0 4 = 2 ω 4

ω m á x = ω 0

Passo 4

Agora vamos calcular o valor máximo da velocidade associado à ω m á x :

V m á x = V ω m á x

V ω m á x = ω F 0 m ω 0 2 - ω 0 2 2 + γ 2 ω 0 2

V m á x = ω 0 F 0 m γ ω 0 = F 0 m γ

Resposta

(a) ω m á x = ω 0 2 - γ 2 2   e A m á x = F 0 / m γ ω 0 2 - γ 2 4 ,

(b) ω m á x = ω 0 e ω A m á x = F 0 / ( m γ ) .

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