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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 37

37. Um sistema massa-mola amortecido é liberado a partir do repouso com deslocamento inicial positivo x 0 . Se o deslocamento máximo positivo seguinte é x 0 / 2 , determine o fator de amortecimento ξ do sistema.

Passo 1

Chamando de ω d , a frequência angular real do oscilador amortecido, vamos agora definir a equação de posição do nosso sistema, a qual é dada por:

x = ( A 3 cos ⁡ ω d t + A 4 sen ⁡ ω d t ) e - ξ ω n t

O valor de A 3 nos já temos, que é a posição inicial x 0 que o corpo é liberado à direita da posição de equilíbrio. Vamos então derivar x para ver se podemos arranjar alguma coisa com a expressão da velocidade que dela advém:

x ˙ = [ - ξ ω n ( A 3 cos ⁡ ω d t + A 4 sen ⁡ ω d t ) + ω d ( - A 3 sen ⁡ ω d t + A 4 cos ⁡ ω d t ) ] e - ξ ω n t

Só que quando o corpo é liberado em t = 0 , a velocidade é nula. Logo, x ˙   nesse instante de tempo, vale zero:

0 = [ - ξ ω n ( A 3 cos ⁡ ω d t + A 4 sen ⁡ ω d t ) + ω d ( - A 3 sen ⁡ ω d t + A 4 cos ⁡ ω d t ) ] e - ξ ω n t

0 = - ξ ω n A 3 + ω d A 4

ω d A 4 = ξ ω n A 3

A 4 = ξ ω n A 3 ω d

Agora, vamos tratar de substituir o valor de A 4 na equação da posição de x :

x = ( A 3 cos ⁡ ω d t + A 4 sen ⁡ ω d t ) e - ξ ω n t

x = A 3 cos ⁡ ω d t + ξ ω n A 3 ω d sen ⁡ ω d t e - ξ ω n t

x = A 3 ⋅ cos ⁡ ω d t + ξ ω n ω d sen ⁡ ω d t e - ξ ω n t

x = x 0 ⋅ cos ⁡ ω d t + ξ ω n ω d sen ⁡ ω d t e - ξ ω n t

Passo 2

Agora é a hora da verdade! Para resolver nossa questão definitivamente de uma vez por todas, precisamos lembrar de duas fórmulas que vamos usar na equação de posição que obtivemos no final do P a s s o   1 . São elas:

t = τ d = 2 π ω n 1 - ξ 2 ω d = ω n 1 - ξ 2

Voltemos à equação da posição e tratemos logo de susbstuir essas duas expressões acima:

x = x 0 ⋅ cos ⁡ ω d ⋅ 2 π ω n 1 - ξ 2 + ξ ω n ω d sen ⁡ ω d ⋅ 2 π ω n 1 - ξ 2 e - ξ ω n 2 π ω n 1 - ξ 2

Só que ω d = ω n 1 - ξ 2 . O que nos leva à:

x = x 0 ⋅ cos ⁡ 2 π + ξ ω n ω d sen ⁡ 2 π e - ξ 2 π 1 - ξ 2

x = x 0 e - ξ 2 π 1 - ξ 2

E como a questão nos fornece que o deslocamento máximo positivo seguinte é x 0 / 2 , então:

x 0 2 = x 0 e - ξ 2 π 1 - ξ 2

1 2 = e - ξ 2 π 1 - ξ 2

Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação:

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ e - ξ 2 π 1 - ξ 2

- 2 π ξ 1 - ξ 2 = ln ⁡ 1 2

- 2 π ξ = ln ⁡ 1 2 ⋅ 1 - ξ 2

( - 2 π ξ ) 2 = ln ⁡ 1 2 ⋅ 1 - ξ 2 2

4 π 2 ξ 2 = 0,48 ⋅ ( 1 - ξ 2 )

4 π 2 + 0,48 ξ 2 = 0,48

ξ ≅ 0,48 4 π 2 + 0,48

ξ ≅ 0,1097

Resposta

ξ ≅ 0,1097

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