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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 15.4 - Ex. 40

Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é de 2,5 s. Determine o valor de d.

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, show de bolinhas com vocês?

Pra gente começar esse exercício, a gente precisa saber como calcular o período T de oscilação de um pêndulo físico de momento de inércia I , dado através da relação:

T = 2 π I m g d

Com d sendo a distância do centro de gravidade do corpo até o seu eixo de rotação. Beleza. Agora, a gente precisa saber calcular o momento de inércia da régua em relação a qualquer eixo. Pra isso, a gente usa o teorema dos eixos paralelos, que nos diz que:

I = I c m + m d 2

Onde o momento de inércia de uma barra em relação ao centro é:

I c m = m L 2 12

Logo, o momento de inércia será:

I = 1 12 m L 2 + m d 2

Agora, a gente pode substituir isso tudo na primeira equação e resolver o problema para encontrar o valor de d . Bora lá.

Passo 2

Então pegando o valor do momento de inércia e substituindo na equação do período, vamos ter que:

T = 2 π m L 2 / 12 + m d 2 m g d

Passando o 2 π dividindo e elevando os dois lados ao quadrado, teremos:

T 2 4 π 2 = m L 2 12 m g d + m d 2 m g d

Agora cortando a massa:

T 2 4 π 2 = L 2 12 g d + d 2 g d

Multiplicando os dois lados dessa equação por g d :

g d T 2 4 π 2 = g d L 2 12 g d + g d d 2 g d

g d T 2 4 π 2 = L 2 12 + d 2

Logo:

d 2 - g T 2 4 π 2 d + L 2 12 = 0

E como o enunciado nos deu que L = 1   m e T = 2,5   s , obtemos a equação do segundo grau:

d 2 - 1,55 d + 0,833 = 0

Passo 3

Iradoso, agora se a gente resolver essa equação do segundo grau, vamos obter as raízes:

d 1 = 0,056   m ,     d 2 = 1,496   m

Mas como d 2 é maior que o comprimento L da régua, 1,496 > 1 , temos que a única opção será d = 0,056   m .

Portanto, a distância d da marca de 50   cm da régua é dada como:

d = 0,056   m

Resposta

d = 0,056   m

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