Para pequenas partículas em queda livre na atmosfera, a resitência do ar é proporcional à velocidade, ou seja, orientando o eixo vertocalmente para baixo, é da forma . Considere a queda livre de uma tal partícula a partir de uma posição inicial e velocidade inicial , levando em conta a força peso (ao contrário do Problema 5). Ache . Sugestão: Usando o método da seção 4.3 (a), procure uma solução particular da equação diferencial do movimento, que é inomogênea. Para isto, leve em conta que, para tempos grandes, a partícula tende a cair com velocidade constante (por quê?), que se chama velocidade terminal.

A melhor forma de resolver essa EDO homogênea é chutando uma solução exponencial:

Substituindo isso, temos:

Dividindo tudo por :

E as soluções possíveis são:

Então a solução geral da homogênea é:

Agora vamos procurar uma solução particular par a EDO inomogênea:

Quando chutamos uma solução, é uma boa ideia usar o polinômio do menor grau possível:

Perceba que uma solução com grau ainda menor, como nunca poderia satisfazer a EDO, já que a primeira derivada já seria zero.

Vamos substituir na equação:

Então:

Beleza, agora nossa solução geral vai ser a soma das duas soluções que encontramos até aqui:

E podemos unir as duas constantes que ficaram “soltas”, , então:

Agora vamos impor as condições iniciais para determinar as constantes e :

Começando pela primeira:

E para aplicar a segunda precisamos calcular a derivada de :

Assim ficamos com um sistema de duas equações e duas variáveis:

Substituindo a segunda na primeira:

Então nossa solução geral é:

Vamos reorganizar um pouco:

Pronto.