19. Calcule a frequência natural ω n do sistema mostrado na figura. A massa e o atrito das polias são desprezíveis.

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai montar o diagrama de corpo livre das forças dinâmicas apenas da massa acoplada na mola:

E se fizermos o somatório de forças no eixo x , teremos:

∑ F x = m a

- k x + T = m a 1   ( I )

Passo 2

Agora, vamos fazer o diagrama de corpo livre das forças dinâmicas apenas da massa suspensa:

E se fizermos o somatório de forças no eixo x , teremos:

∑ F x = m a

- 2 T = m a 2

Isolaremos a força T :

T = - m a 2 2     ( I I )

Passo 3

Para resolver este problema, devemos assumir que a aceleração a 2 será metade da aceleração a 1 :

a 2 = 1 2 a 1

Com isso, nossa equação ( I I ) passa a ser:

T = - m a 1 4    

Passo 4

Agora, se substituirmos a força T na equação ( I ) :

- k x + - m a 1 4 = m a 1

E vamos chamar a aceleração a 1 de x ¨ :

- k x + - m x ¨ 4 = m x ¨

Rearranjando a equação:

x ¨ + 4 5 k m x = 0

Passo 5

Sabemos que a fórmula genérica de um movimento harmônico é:

x ¨ + k g m g x = 0

Onde k g e m g são constante elástica e massa genérica, respectivamente.

∴ k g m g = 4 5 k m

Passo 6

Agora, a gente vai calcular a frequência que foi pedida no enunciado pela fórmula:

ω n = k m

∴ ω n = 4 5 k m

Resposta

A frequência natural ω n do sistema será:

ω n = 4 5 k m

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