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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 21

21. Uma pequena partícula de massa m está presa a dois fios muitos tensos, conforme mostrado. Determine a frequência natural ω n do sistema para pequenas oscilações verticais se a tração T em ambos os fios é considerada constante. O cálculo do pequeno deslocamento estático da partícula é necessário?

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai montar o diagrama de corpo livre da massa m com um certo desocamento de ângulo θ :

Aqui, y será a deflexão dinâmica do sistema, ou seja, a deflexão que ocorre devido à vribração e δ será a deflexão est´taica, ou seja, devido à força peso.

Para ângulos pequenos s e n ( θ ) ≅ θ e por estar em radianos e plea definição de radianos de arco dividido pela raio, temos:

θ ≅ y + δ l

Passo 2

Agora faremos o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = m y ¨

Onde y ¨ é a aceleração.

- 2 T ⋅ s e n θ + m g = m y ¨

- 2 T ⋅ y + δ l + m g = m y ¨

- 2 T y l - 2 T δ l + m g = m y ¨

Porém, as forças - 2 T δ l e m g tem mesma intensidade, e a soma das duas da zero. Então:

- 2 T y l = m y ¨

Rearranjando a equação:

y ¨ + 2 T l m y = 0

Passo 3

Sabemos que a equação genérica de movimento harmônico é:

y ¨ + ω n 2 y = 0

Disso, tiramos que:

ω n 2 = 2 T l m

∴ ω n = 2 T l m     ( r a d / s )

Passo 4

Como fizemos ali em cima adicionamos as forças do cálculo de deslocamento estático da partícula e sua soma resultou em zero, portanto não é necessário calculá-lo.

Resposta

A frequência natural do sistema para pequenas vibrações será:

ω n = 2 T l m     ( r a d / s )

E o cálculo do deslocamento estático não é necessário.

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