15. Pesando astronautas. Este processo tem sido realmente usado para ‘pesar’ astronautas no espaço. Uma cadeira de 42,5   k g é presa em uma mola e deixada oscilar livremente. Quando vazia, a cadeira leva 1,30   s para completar uma vibração. Mas com uma astronauta sentada nela, sem apoiar os pés no chão, a cadeira leva 2,54   s para completar um ciclo. Qual é a massa da astronauta.

Passo 1

Antes de tudo, vamos primeiro esclarecer o que o enunciado quer dizer com um ciclo completo. Nesse contexto o ciclo quer dizer um período de oscilação da cadeira, então a cadeira vazia tem período de 1,30   s e com a astronauta tem um período de 2,54   s .

Bem agora temos que achar uma forma de relacionar massa com período de oscilação, já que foram as únicas coisas que o enunciado nos deu. Podemos fazer isso através da seguinte equação ( 13.12 ) :

T = 2 π m k

Bem, para usarmos essa fórmula temos que saber k , que é a constante elástica da mola.

Tendo o k basta isolar o m e substituir T = 2,54 assim encontraremos a massa da cadeira junto com a da astronauta.

Como já sabemos a massa da cadeira, fica fácil achar a massa da astronauta, já que teremos a massa da soma das duas.

Passo 2

Vamos então encontrar o k , para isso vamos usar o fato de sabermos a massa da cadeira e o período de oscilação da cadeira sem a astronauta. Então:

T = 2 π m k

⇒ m k = T 2 π

⇒ m k = T 2 π 2

⇒ k = 4 π 2 T 2 m

Sabendo que m = 42,5   k g e que T = 1,30   s , temos:

k = 4 π 2 1,3 2 * 42,5

= 992,8   N / m

Passo 3

Agora que temos k podemos usar a fórmula para o caso da astronauta junto com a cadeira. Então:

T = 2 π m k

⇒ m k = T 2 π 2

⇒ m = T 2 4 π 2 k

Sabendo que k = 992,8   N / m e que T = 2 , 54   s , temos:

m = 2,54 2 4 π 2 * 992,8

= 162,24   k g

Passo 4

Então, no passo anterior achamos a massa da cadeira junto com a da astronauta, agora vamos subtrair a massa da cadeira desse resultado, para aí sim acharmos a massa que queremos.

m a = 162,24 - 42,5

⇒ m a = 119,74   k g

Resposta

m a = 119,74   k g

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