Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 67
67. Um prato uniforme, horizontal, de é preso a uma mola vertical ideal de constante igual a , e uma esfera de metal de está sobre o prato. A mola está sob o prato, podendo oscilar para cima e para baixo. O prato é, então, empurrado para baixo até abaixo do seu ponto de equilíbrio (chame esse prato de ) e liberado a parir do repouso. A que altura acima do ponto estará o prato quando a esfera de metal deixar o prato? (Sugestão: Isso não ocorre quando a esfera e o prato atingem suas velocidades máximas.) Quanto tempo passa entre o momento em que o sistema é liberado no ponto e o momento em que a esfera sai do prato? Com que velocidade a esfera está se movendo ao sair do prato?
Passo 1
Vamos pensar em que situação a esfera sairia do prato, não teria como ser na subida do prato, já que o mesmo só estaria empurrando a esfera para cima, mas descida é possível que eles se separem.
Mas com isso aconteceria? Isso pode ocorrer se o prato tiver uma aceleração maior que a da esfera, que é a mesma da gravidade , devido a força que a mola emprega nele.
A força exercida pela mola para baixo, tem como fórmula:
Onde é a distância do objeto acima do ponto de equilíbrio, é esse cara que nos vai interessar saber o valor quando a aceleração do prato for igual ou maior que , que é quando a esfera e o prato se separam.
Usando a segunda lei de Newton no prato, temos que a força resultante é igual a força elástica, já que é a única no prato, assim:
Dessa expressão podemos isolar e colocar a aceleração iguala gravidade e saber em que ponto o prato e a esfera se separam, pois a parti desse momento a aceleração do prato só tende a crescer e eles se separarem mais.
Agora para saber quanto tempo leva para isso acontecer, só nos resta usar a equação da posição de um , já que saberemos o ponto onde isso ocorre, a equação é o seguinte:
Mas nesse caso , pois e a única forma de isso ser verdade é o tendo esse valor.
Assim basta isolar nessa equação e substituir os valores conhecidos. O pode ser encontrado através da seguinte fórmula:
Para achar a velocidade da esfera no ponto em que ela se separa do prato, teremos que apelar para conservação de energia mecânica total, que é dada por:
Assim, basta isolar nessa expressão, lembrando que o valor de é o ponto elas se separam, que é onde o enunciado quer saber a velocidade.
Passo 2
Vamos encontra o ponto onde o prato e a esfera se saparam, já que essa informação é importante para fazer as outras coisas pedidas.
No passo chegamos a uma equação que nos feneceria a distância do ponto de equilíbrio que a separação ocorreria, que é:
Isolando e fazendo , temos:
Substituindo os valores, temos:
Só que essa é a distância do ponto de equilíbrio da mola, o enunciado quer a distância até o ponto , que fica a do ponto de equilíbrio, então basta somar os dois valores, assim:
Passo 3
Andes de saber quanto tempo até a separação vamos achar o valor de , que é necessária para achar o tempo, vamos achar esse com a seguinte fórmula:
Temos então que:
Passo 4
Agora que temos o , vamos da uma mexida na equação da posição para achar o , a equação é:
Assim:
Substituindo o que sabemos, temos:
Temos pois esse ponto está acima do ponto de equilíbrio e por escolha, o lado negativo é acima do ponto de equilíbrio.
Continuando:
Passo 5
Agora vamos achar a velocidade através da fórmula da equação da energia mecânica total, temos:
Vamos isolar a velocidade:
Então ficamos com:
Agora vamos colocar os valores que temos:
Assim temos uma velocidade de: