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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 59

Muitos satélites orbitam a Terra em altitudes de até 1000 km acima da superfície da Terra. Satélites geossíncronos, no entanto, orbitam a uma altitude de 35 790 km acima da superfície da Terra. Quanta energia é necessária para lançar um satélite de 500 kg em uma órbita geossíncrona, além da requerida para o caso de uma órbita a 1000 km da superfície da Terra?

Passo 1

Podemos expressar a diferença de energia entre essas duas órbitas em termos da energia total de um satélite para cada altura. Ou seja:

Δ E = E g e o - E 1000

Daí vamos aplicar a segunda lei de Newton no satélite e poderemos ver a energia em função da massa do satélite, do raio da Terra e seu raio de órbita! Vamo devagarinho que não tem errada :)

Passo 2

A energia total de um satélite em órbita pode ser expressa pela soma de sua energia cinética e sua energia potencial, desse jeito:

E = K + U

Substituindo cada uma dessas energias do lado direito:

Lembre-se que: g = G M T R T 2

E = 1 2 m v 2 - G M T m R = 1 2 m v 2 - g R T 2 m R

Onde R é o raio de órbita do satélite.

Passo 3

Agora da 2ª lei de Newton:

F r a d i a l = G M T m R 2 = m v 2 R

Isolando a velocidade ao quadrado e substituindo G M T = g R T 2 :

v 2 = g R T 2 R

Agora vamos substituir isso na equação da energia total e ficar com a equação que queremos:

E = 1 2 m g R T 2 R - g R T 2 m R = - m g R T 2 2 R

Passo 4

Daí podemos substituir isso na nossa equação da diferença entre as energias totais! Desse jeito:

Δ E = - m g R T 2 2 R g e o + m g R T 2 2 R 1000 = m g R T 2 2 1 R 1000 - 1 R g e o

Pra finalizar é só substituir os valores e teremos a nossa resposta!

Δ E = 500   k g ∙ 9.81   N / k g ∙ 6.37 ∙ 10 6   m 2 2 1 7.37 ∙ 10 6   m - 1 4.22 ∙ 10 7   m = 11.1   G J

Resposta

Δ E = 11.1   G J

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