Enunciado

Seja x = a cos ⁡ ω t + b sen ⁡ ω t a solução estacionária para o movimento de um oscilador amortecido sob a ação da força F = F 0 cos ⁡ ω t . Mostre que somente a componente em quadratura contribui para a potência média P - . Calcule P - .

Passo 1

Em geral, a potência instantânea de um determinado sistema é:

P = F v = F x ˙

E no caso do oscilador, a potência média é:

P = F x ˙

Onde o símbolo f é a média da função f . Vamos começar calcular a derivada x ˙ :

x = a cos ⁡ ω t + b sen ⁡ ω t

x ˙ = - a ω sen ⁡ ω t + b ω cos ⁡ ω t

Então:

P = F 0 cos ⁡ ω t ( b ω cos ⁡ ω t - a ω sen ⁡ ω t

P = F 0 ( ω b cos 2 ⁡ ω t - ω a sen ⁡ ω t cos ⁡ ω t

Lembrando que sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x :

P = F 0 ω b cos 2 ⁡ ω t - 1 2 ω a sen ⁡ 2 ω t

Passo 2

Agora precisamos aproveitar algumas médias simples e conhecidas:

sen ⁡ 2 ω t = 0

cos 2 ⁡ ω t = 1 2

Então:

P = F 0 1 2 ω b

Resposta

A potência média é P - = F 0 1 2 ω b .

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