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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 48

48. Determine a amplitude X do movimento em regime permanente da massa de 10   k g se

(a) c = 500   N ⋅ s / m e

(b) c = 0 .

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai calcular a frequência de ressonância ω n que será comum a letra (a) e (b).

ω n = k m

ω n = 100000   ( N / m ) 10   k g

ω n = 100   r a d / s

Passo 2

(a) Agora, vamos calcular o fator de amortecimento ζ para a condição de c = 500   N ⋅ s / m pela fórmula:

ζ = c 2 m ω n

ζ = 500   N ⋅ s / m 2 ( 10   k g ) ( 100   r a d / s )

ζ = 0,25

E depois bora determinar a amplitude de regime permanente X pela fórmula:

X = F 0 / k 1 - ω \ ω n 2 2 + 2 ζ ( ω \ ω n 2

A única variável desconhecida aqui é o ω , então como achá-la?

Bom, sabemos que a fórmula da força é F = 1000   c o s ⁡ ( 120   t ) e a fórmula genérica de força é F = b ⋅   c o s ⁡ ( ω   t ) , assim, podemos ver que ω = 120   r a d / s .

Para a força F 0 , temos que t = 0 , então F 0 = 1000   N

X = 1000 N   / 100000 N \ m 1 - 120 \ 100 2 2 + 2 ( 0,25 ) ( 120 \ 100 2

X = 0,01   m 1 - 1,2 2 2 + 0,6 2

X = 0,01   m 0,1936 + ( 0,36 )

X = 0,01   m 0,5536

X ≅ 0,01 m 0,744

X ≅ 1,344 × 10 - 2   m

Passo 3

(b) Agora, vamos calcular para as condições de c = 0

Pela fórmula:

ζ = c 2 m ω n

Temos que ζ = 0

Então:

X = F 0 / k 1 - ω \ ω n 2

X = 1000 N   / 100000 N \ m 1 - 120 \ 100 2

X = 0,01   m 0,44

X = 2,27 × 10 - 2   m

Resposta

(a) A amplitude X para este caso será:

X = 1,344 × 10 - 2   m

(b) E a amplitude X neste caso será:

X = 2,27 × 10 - 2   m

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