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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 2 - Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 1

Verifique que x 1 t = t e - γ 2 t é solução da x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 para ω 0 = γ / 2 , e que a x t = F 0 2 m ω 0 t sen ⁡ ω 0 t satisfaz a equação diferencial x ¨ + ω 0 2 x = F 0 m cos ⁡ ω 0 t e as condições iniciais   x 0 = 0 ,           x ˙ 0 = 0 .

Passo 1

Vamos começar verificando que:

x 1 t = t e - γ 2 t

É uma solução para a seguinte equação diferencial:

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Com ω 0 = γ 2 , então:

x ¨ + γ x ˙ + γ 2 4 x = 0

Começamos encontrando as duas derivadas de x 1 t . Temos que aplicar a regra do produto:

x ˙ 1 t = - γ 2 t e - γ 2 t + e - γ 2 t = e - γ 2 t 1 - γ 2 t

x ¨ 1 t = γ 2 4 t e - γ 2 t - γ 2 e - γ 2 t - γ 2 e - γ 2 t = γ e - γ 2 t γ 4 t - 1

Passo 2

E agora vamos substituir tudo isso na equação diferencial e simplificar:

x ¨ 1 + γ x ˙ 1 + γ 2 4 x 1

γ e - γ 2 t γ 4 t - 1 + γ e - γ 2 t 1 - γ 2 t + γ 2 4 t e - γ 2 t

γ e - γ 2 t γ 4 t - 1 + γ e - γ 2 t 1 - γ 2 t + γ e - γ 2 t γ 4 t

γ e - γ 2 t γ 4 t - 1 + 1 - γ 2 t + γ 4 t

Todos os termos dentro dos parênteses se anulam, então:

γ e - γ 2 t γ 4 t - 1 + 1 - γ 2 t + γ 4 t = 0

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para essa solução:

x t = F 0 2 m ω 0 t sen ⁡ ω 0 t

A primeira derivada é:

x ˙ t = F 0 2 m   t cos ⁡ ω 0 t + F 0 2 m ω 0 sen ⁡ ω 0 t

E a segunda derivada é:

x ¨ t = - F 0 ω 0 2 m   t sen ⁡ ω 0 t + F 0 2 m   cos ⁡ ω 0 t + F 0 2 m cos ⁡ ω 0 t

x ¨ t = F 0 m - ω 0 t 2 sen ⁡ ω 0 t + cos ⁡ ω 0 t

Agora podemos substituir no lado esquerdo equação diferencial:

x ¨ + ω 0 2 x

F 0 m - ω 0 t 2 sen ⁡ ω 0 t + cos ⁡ ω 0 t + ω 0 2 F 0 2 m ω 0 t sen ⁡ ω 0 t

- F 0 ω 0 2 m t sen ⁡ ω 0 t + F 0 ω 0 2 m t sen ⁡ ω 0 t + F 0 m cos ⁡ ω 0 t = F 0 m cos ⁡ ω 0 t

Que é exatamente o que queríamos mostrar.

Passo 4

Agora falta verificar que essa solução atende às condições iniciais:

x t = F 0 2 m ω 0 t sen ⁡ ω 0 t           ;             x 0 = 0 x ˙ 0 = 0

Começando por x 0 = 0 :

x 0 = F 0 2 m ω 0 0 sen ⁡ ω 0 0 = 0

E agora vamos pegar a derivada x ˙ t que já calculamos no passo anterior:

x ˙ t = F 0 2 m   t cos ⁡ ω 0 t + F 0 2 m ω 0 sen ⁡ ω 0 t

E então x ˙ 0 é:

x ˙ 0 = F 0 2 m   0 cos ⁡ ω 0 0 + F 0 2 m ω 0 sen ⁡ ω 0 0

Como sen ⁡ 0 = 0 , temos:

x ˙ 0 = 0

Ou seja, a solução satisfaz as duas condições iniciais.

Resposta

Demonstração.

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