Verifique que x 1 t = t e - γ 2 t é solução da x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0 para ω 0 = γ / 2 , e que a x t = F 0 2 m ω 0 t sen ⁡ ω 0 t satisfaz a equação diferencial x ¨ + ω 0 2 x = F 0 m cos ⁡ ω 0 t e as condições iniciaisx 0 = 0 ,x ˙ 0 = 0 .

Enunciado

Vamos começar verificando que:

É uma solução para a seguinte equação diferencial:

Com , então:

Começamos encontrando as duas derivadas de . Temos que aplicar a regra do produto:

E agora vamos substituir tudo isso na equação diferencial e simplificar:

Todos os termos dentro dos parênteses se anulam, então:

Agora vamos fazer o mesmo para essa solução:

A primeira derivada é:

E a segunda derivada é:

Agora podemos substituir no lado esquerdo equação diferencial:

Que é exatamente o que queríamos mostrar.

Agora falta verificar que essa solução atende às condições iniciais:

Começando por :

E agora vamos pegar a derivada que já calculamos no passo anterior:

E então é:

Como , temos:

Ou seja, a solução satisfaz as duas condições iniciais.

Demonstração.