Então:

Segunda Lei de Newton:

Logo:

Fazendo as substituições de sempre, e , temos:

Não confunda , a frequência natural da mola (de valor constante ) com , a frequência da força externa, que tem valor variável!!

Show? Até aí tudo bem. No entanto, solucionar essa EDO não é tão simples.

Mas a gente pode tirar uma conclusão rápida: A solução da equação homogênea é uma equação de um MHA (que pode ser crítico, supercrítico ou subcrítico).

Pra se obter a solução particular a gente tem que usar uns métodos bizarros envolvendo números complexos. Porém isso não importa muito, é importante que você saiba que ela será do tipo:

Com:

E como você pode ver, a amplitude oscilação depende da frequência externa.

Eita! E o que isso nos diz? Nos diz que a solução particular é uma função oscilatória que oscila de acordo com a frequência da força externa, porém com uma diferença de fase, !

Então, a solução será:

Sendo que é a solução da equação homogênea, que é a solução de um MHA, ou seja, pode ser do tipo crítico, subcrítico ou supercrítico.

Regime Transiente e Regime Permanente

Mas o que será que acontece com esse sistema após um longo tempo de oscilação?

É o seguinte: Lembra que as equações dos MHA sempre tendiam ao zero, após um longo tempo? Ou seja, sistema com amortecimento tendem a parar uma hora. E na nossa solução geral nós temos que o termo é a solução de um MHA.

Você pode perceber isso notando que as soluções dos MHA sempre tinham um fator assim:

E o limite disso tendendo a infinito dá quanto? Zero! Então, se tendermos a solução geral para um tempo suficientemente grande, um tempo que não precisa ser infinito, vamos perceber que:

Pronto! Ou seja: Após um longo tempo, o sistema vai passar a oscilar apenas em função da força externa, de acordo com a equação acima.

Dizemos que o sistema está no regime transiente quando o tempo é menor que , e permanente quando for maior que . Mas geralmente se diz que o regime permanente acontece após “um longo tempo” ().

Olha aí um gráfico que representa bem isso:

Perceba que antes de o movimento era bem irregular. Isso acontece por causa da soma da equação homogênea com a particular. No entanto, após esse tempo, o sistema passa a oscilar com uma amplitude constante, como um MHS.

É importante saber:

• No regime permanente, o sistema oscila com amplitude constante e dada por
• O regime permanente não depende das condições iniciais () pois a parte que dependia disso era a solução da equação homogênea, que já “morreu” nesse regime. Logo, tudo que ocorrer no regime permanente também não vai depender das condições iniciais.

Ressonância

Ressonância é quando um movimento harmônico forçado atinge o seu máximo de amplitude. Na ausência de amortecimento, a gente já viu que isso ocorre quando a da força externa oscila com a frequência natural do sistema.

No MHA, a primeira coisa que você precisa saber é: ela ocorre no regime permanente.

Como vimos é dada por:

A amplitude máxima pode ser calculada quando

Derivando e resolvendo isso aí, teremos que a amplitude máxima será em:

CUIDADO!! Super comum eles dizerem nas provas que a amplitude máxima é sempre em . Isso não acontece quando a oscilação tem um amortecimento considerável.

Mas se o amortecimento é fraco (), então podemos aproximar a frequência de ressonância para .

Opa! Olha que interessante: Nesse caso, o limite não dá infinito. Isso quer dizer que quando há amortecimento, a ressonância gera uma amplitude máxima na oscilação, porém finita.

Fator de Qualidade ou de mérito

Um tema que costuma cair é o tal fator de qualidade ou fator de mérito. Ele pode ser definido por:

E a relação acima mostra a representação física desse fator. O que podemos tirar disso? Que quanto maior for a dissipação da energia em um ciclo, menor será o fator

É de se esperar, portanto, que seja inversamente proporcional ao E é por isso que pode ser dado por:

E quem é É a chamada largura de banda. Como calcular isso? Bom, quando temos um gráfico :

Pra calcular a largura de banda vamos ao eixo em e traçamos uma reta horizontal. A partir do cruzamento dessa reta com o gráfico, descobrimos, rebatendo no eixo , dois valores de . A diferença desses dois valores nos dá a largura de banda:

Sacou? No caso desse exemplo:

Observação: As fórmulas acima deduzidas só valem para o caso em que o amortecimento é fraco (

Resumindo

Juntando os conceitos importantes, temos que:

• Se o sistema for amortecido, vai ter um regime transiente, que é o movimento nos primeiros instantes, e um regime permanente, que vai ser um MHS, tendo uma amplitude fixa e frequência da força aplicada. O regime permanente acontece após um longo tempo;
• O regime permanente não depende das condições iniciais, ou seja: e ;
• Amplitude do movimento no regime permanente vai depender de e ;
• Apenas se for pedido, você resolve a EDO não homogênea, do mesmo modo que se faz em Cálculo.

Já sobre ressonância, fique ligado com:

• Não depende das condições iniciais (pois acontece em regime permanente);
• Quanto maior a constante de amortecimento , menor a amplitude de ressonância;
• Para pequenos amortecimentos ou nenhum amortecimento, a ressonância acontece para ;
• Para amortecimentos consideráveis, a ressonância acontece quando

Se liga então! Entendo que estes conceitos não são simples, mas com um pouco de prática eu tenho certeza que você vai ficar craque. VAMO QUE VAMO!