Oscilações Forçadas
Produzido por Leonardo de BemTeoria
O que são oscilações forçadas?
Já vimos que pode existir uma força de amortecimento que “atrapalha” a oscilação. E se surgir, agora, uma força externa que também afete a oscilação, como a força peso?
Como assim? Veja a figura abaixo:
Chamamos isso de oscilação forçada.
Nesse caso, uma oscilação forçada com uma força que é constante no tempo.
Matematicamente falando, antes estávamos lidando com EDOs Homogêneas. Agora, não mais. Então, a solução geral agora será dada pela soma de uma solução homogênea com uma solução particular:
Bora aprender a resolver isso.
Quando a força externa for constante
Vamos usar como exemplo de força constante a força peso, já comentada. Aliás, as chances de você encontrar uma questão envolvendo uma oscilação influenciada pela força peso são grandes.
Usando a segunda Lei de Newton aplicada ao exemplo lá de cima , vamos obter:
Ahh, mas lembra aí que podemos chamar a aceleração de . E dividindo tudo por m, temos:
Definimos :
Obs: Veja que o sentido do peso nesse caso é positivo pois eu adotei o sentido positivo de para baixo.
Beleza, chegamos a equação diferencial. Agora, como foi dito, a solução vai ser do tipo:
Para achar a solução homogênea, basta ignorarmos tudo que não é o x(t) ou suas derivadas. Então, é a solução da equação homogênea:
Que é uma equação simples de um MHS. Nós já vimos que essa solução é do tipo:
E agora, como achar a solução particular?
Bom, você deve lembrar de EDO que a gente “chuta” um valor pra solução particular que seja matematicamente parecido com a parte não-homogênea da equação e depois substitui na equação diferencial.
Nesse caso, como a parte não homogênea é uma constante (), então vamos chutar um valor constante também. Bem assim:
Substituindo na EDO:
Percebeu que a apareceu um zero ali porque a segunda derivada de uma constante é zero, né?
Lembrando que:
Então, no final:
Show? Ah, e se nesse caso tivesse um amortecimento?
Seria muito parecido, e solução particular seria a mesma. Por quê? Bom, porque as derivadas zerariam na EDO pelo mesmo motivo que antes:
O que mudaria seria a equação da parte homogênea, que depende do tipo de amortecimento, como vimos no capítulo de MHA.
E se a força for oscilatória?
Olhe a figura: Agora temos uma força externa que não é constante e que varia no tempo como uma força oscilatória:
Por exemplo, quando você está empurrando um balanço para um amigo que está sentado.
Como vamos resolver isso? Simples, vamos partir da segunda Lei de Newton novamente.
Equacionando
Usamos a segunda lei de Newton para buscarmos uma solução, lembrando que nesse caso, não possuímos amortecimento:
Substituindo e dividindo tudo por m:
Fazendo .
Repare que é a frequência natural de oscilação da mola (um valor constante), mas é a frequência angular da oscilação externa (de valor variável). Não confunda as duas!!
Se liga, é um erro muito comum você chegar numa equação do tipo:
Mas isso está errado, pois no desenvolvimento da EDO a gente dividiu tudo pela massa. Preste atenção nisso!
Enfim, como vimos, a solução vai ser do tipo:
A solução homogênea é a solução de um MHS, mas a solução particular a gente vai precisar chutar, usando os métodos de EDOs.
Como a parte não homogênea é um cosseno, é de se esperar que a solução particular seja do tipo:
Vamos descobrir esse :
Assim:
Assim, na EDO:
Cortando os cossenos:
Então a solução particular vai ser:
A massa oscila com a frequência da força externa, sem diferença de fase. Se força empurra o balanço, ele vai pra frente, se você puxa, ele vai pra trás, como esperado.
Juntando tudo:
Ressonância
Repare na amplitude da solução particular que acabamos de achar.
A amplitude do movimento depende da frequência da oscilação externa ().
No caso do balanço, se você fica empurrando o balanço muito rápido (alta frequência) ou muito devagar (baixa frequência), a amplitude de oscilação vai ser baixa: seu amigo não se diverte.
Mas o que acontece quando a frequência externa fica igualzinha a frequência natural do sistema?
Quando , o denominador vai a zero!
A amplitude de oscilação vai ficando maior e maior até o infinito, como na figura abaixo. Chamamos esse fenômeno de RESSONÂNCIA!
O máximo de amplitude só acontece quando o sistema entra em ressonância, isso é, quando ! Na ausência de amortecimento, a ressonância gera amplitudes infinitas!
Ou seja, se você quiser que seu amigo se divirta no balanço, você tem que empurrar com uma frequência próxima à frequência natural de oscilação do sistema para que ele tenha uma amplitude significativa. Mas cuidado, porque se não tiver atrito nenhum seu amigo vai sair voando para o infinito e além!
Agora é SUPER importante que você reforce todos os conceitos com os exercícios. Tanto os teóricos quanto os de conta, eles são essenciais para que você internalize os conhecimentos. BORA LÁ!!