Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

Produzido por Leonardo de Bem
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Teoria

Velocidade de uma onda na corda

Anteriormente, vimos que a velocidade de uma onda está relacionada ao comprimento de onda e à frequência através de:

v = λ f

Entretanto, podemos dizer que ela é determinada também pelas propriedades do meio!

No caso da corda...

Quando se trata da velocidade de uma onda na corda, podemos calculá-la a partir da tensão no fio e da densidade linear da corda.

Uma figura clássica que ilustra isso é essa aqui:

Se a massa do bloco é 5kg e a densidade linear da corda é μ = 0,5 k g / m , qual será essa velocidade na corda?

A equação que relaciona a força T , tração exercida no fio, a densidade linear da corda μ e a velocidade da onda na corda v é a seguinte:

v = T μ

Onde μ é a densidade linear de massa, que se for constante é μ = m L .

Onde a tração na corda é o próprio peso do bloco que está em repouso:

T = P = m g

Substituindo temos:

v = 5 × 10 0,5 = 10 m / s

É isso que você tem que saber! Uma fórmula mágica que resolve todos os exercícios.

Esse fenômeno que a gente viu acontece no violão, quando afinamos as cordas a tração se modifica mudando por consequência a velocidade e alterando o som emitido.

Potência média de uma onda

Quando produzimos uma onda em uma corda esticada, fornecemos energia para que a corda se mova (lembre-se: todo mundo precisa de energia para se mover).

Conforme a onda vai se movendo na corda e se afastando de nós, vimos que ela vai transportando energia tanto na forma de energia cinética quanto na de potencial elástica.

Agora vamos ver como calcular a taxa média com a qual essa energia é transmitida.

A taxa média de energia transmitida não é nada mais do que a potência média da onda.

Como quantificamos isso?

Vamos calcular a potência média pro nosso exemplo da corda se aquele movimento tem uma frequência de 20 H z e uma amplitude 0,1 m .

A potência média é dada por:

P m e d = 2 μ v π A f 2

Onde:

v é a velocidade da onda.

μ é a densidade linear da corda. Lembra disso? A densidade linear de massa é μ = m L

A é a amplitude.

f é a frequência.

Essa fórmula assusta né? Mas tem um jeito bom de gravar!

Me vê dois ‘piaf’ quadrados” – seja lá o que isso quer dizer. =)

Se você se lembrar dessa frase, vai lembrar que:

P m e d = μ v × 2 × π A f 2

Também podemos chamar a potência média de intensidade, ou seja:

I = P m e d = μ v × 2 × π A f 2

Observação 1: colocando as unidades de μ , v , A e f no SI, a unidade de potência é W (watt).

Não sei se você se ligou mas temos todos os nossos valores no S I então é só a gente substituir os nossos valores na equação e calcular a intensidade, se liga:

μ = 0,5 k g / m

v = 10 m / s

A = 0,1 m

f = 20 H z

I = P m é d = 0,5 × 10 × 2 × π × 0,1 × 20 2 = 394,8 W

Observação 2: Você também pode encontrar a expressão acima nessa forma aqui:

P m e d = 1 2 μ v ω 2 A 2

Pra chegar nela é só lembrar que ω = 2 π f

Observação 3: Outra equação que pode aparecer é a potência instantânea mais roots que é a origem da nossa potência aqui em cima!

P = - F ∂ y ( x , t ) ∂ x ∂ y ( x , t ) ∂ t

Onde F é a força sobre a corda (geralmente a tensão) e y ( x , t ) é a função da onda! Essa fórmula não é muito cobrada, mas a gente não pode dar bobeira não, hein! ;)

E o que seria a densidade de energia por comprimento?

Bom, a gente pode chegar nessa expressão bem facilmente. Só você pensar que a densidade de energia por comprimento é algo do tipo:

δ = d E d x

E que a potência por definição é:

P m e d = d E d t

P m e d d t = d E

E aí é só jogar na outra equação:

δ = P m é d d t d x

E o termo d t / d x   nada mais é que o inverso da velocidade v = d x / d t então reescrevendo a equação temos:

δ = P m é d v

Beleza? Essa é a chamada densidade média de energia total da corda.

Substituindo a potência que calculamos e a velocidade que já tínhamos, a equação vai ficar:

δ = 394,8 10 = 39,48 J m  

Também podemos encontrar a expressão da densidade média diretamente, substituindo a potência média:

δ = P m é d v

δ = 2 μ v π A f 2 v

δ = 2 μ π A f 2

Ok, estamos prontos pra enfrentar os exercícios agora! =)

Potência média de uma onda

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