Efeito Doppler – Frequência e Comprimento de Onda
Teoria
Já estudamos esse efeito, só que para ondas sonoras.
Agora, no caso da luz, por ela não precisar de um meio para se propagar, o efeito depende apenas da velocidade relativa entre a fonte e o detector.
Fonte e detector se afastando
Se uma fonte que está emitindo ondas luminosas de frequência se afasta em linha reta de um detector com velocidade (e, portanto, com parâmetro de velocidade ), a frequência medida pelo detector será dada por:
A frequência é chamada de frequência própria da fonte, ou seja, a frequência medida por um detector em repouso em relação à fonte.
Fonte e detector se aproximando
Para um detector que está se aproximando da fonte, é só substituir por . Isso acontece porque nós consideramos positivo quando o detector está se afastando da fonte, e negativo quando o observador está se aproximando da mesma.
Portanto, a frequência medida pelo detector será dada por:
Ou seja, os sinais da equação são simplesmente invertidos.
Efeito Doppler em baixas velocidades
Para o caso de , a frequência medida por um detector que está se afastando da fonte será dada por:
Novamente, para um detector se aproximando da fonte, basta substituir por . Assim, a frequência medida pelo detector será dada por:
Efeito Doppler e Comprimento de Onda
Vamos começar supondo que estamos observando uma estrela que se movimenta com velocidade , de forma a se afastar da gente.
Nesse caso, se , podemos dizer:
Considerando suficientemente pequeno, podemos até ignorar o termo ao quadrado e obter:
Substituindo por , temos:
Lembre-se: essa situação é válida apenas para casos em que é muito pequeno. Assim, fazendo uma expansão em série de potências, chegaremos à seguinte expressão:
Substituindo por e por , temos:
Essa equação é válida para os casos em que .
Onde é o chamado deslocamento Doppler, usamos seu valor absoluto para que ele seja sempre positivo. Além disso, é o comprimento de onda próprio, dado pela fórmula:
Quando tivermos que , a fonte está se afastando do detector e o deslocamento Doppler é chamado de deslocamento para o vermelho.
Quando tivermos que , a fonte está se aproximando do detector e o deslocamento Doppler é chamado de deslocamento para o azul.
Fonte e detector se aproximando
Efeito Doppler em baixas velocidades
Efeito Doppler e Comprimento de Onda
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 176-8.
Um astronauta está a bordo de uma espaçonave e detecta sinais transmitidos por quatro naves de salvamento que estão se aproximando ou se afastando em linha reta. Os sinais têm a mesma frequência própria .
As velocidades e direções das naves de salvamento em relação ao astronauta são se aproximando; se aproximando; se afastando; se afastando.
Coloque as naves de salvamento na ordem das frequências recebidas pelo astronauta, começando pela maior.
Passo 1
se aproximando;
De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se aproximando, a frequência recebida pelo astronauta será:
Onde . Logo:
Passo 2
se aproximando;
De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se aproximando, a frequência recebida pelo astronauta será:
Onde . Logo:
Passo 3
se afastando;
De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se afastando, a frequência recebida pelo astronauta será:
Onde . Logo:
Passo 4
se afastando.
De acordo com a equação de efeito Doppler, quando a nave está se afastando, a frequência recebida pelo astronauta será:
Onde . Logo:
Assim, a ordem das frequências recebidas pelo astronauta, começando pela maior, será:
Resposta
Exercício Resolvido #2
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 179-34.
Certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia da constelação da Virgem são maiores que a luz correspondente produzida por fontes terrestres.
Qual é a velocidade radial dessa galáxia em relação à Terra?
A galáxia está se aproximando ou se afastando da Terra?
Passo 1
Qual é a velocidade radial dessa galáxia em relação à Terra?
A equação que relaciona os comprimentos de onda com a velocidade é dada por:
Quando o enunciado diz que “certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia são 0,4% maiores que a luz produzida por fontes terrestres”, no fundo o que ele está nos dizendo é que:
Portanto:
Passo 2
A galáxia está se aproximando ou se afastando da Terra?
O enunciado diz que “certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia são 0,4% maiores que a luz correspondente produzida por fontes terrestres”.
A luz correspondente seria uma que teria mesmo comprimento de onda.
Isso significa que o comprimento de onda que a gente detecta é maior que o comprimento de onda da fonte, na outra galáxia (da constelação de Virgem).
Isso significa que a galáxia está se afastando da Terra e o deslocamento Doppler é chamado de deslocamento para o vermelho.
Resposta
A galáxia está se afastando da Terra.
Exercício Resolvido #3
PUCRIO-P2-2013.2-4ii
Uma nave espacial emite luz com comprimento de onda e se desloca com velocidade , onde é a velocidade da luz, em relação a um observador postado ao longo da direção de sua velocidade. Calcule o comprimento de onda medido por esse observador para o caso de aproximação e depois de afastamento.
Passo 1
Vamos começar determinando o comprimento de onda medido pelo observador no caso em que a nave se afasta do observador com .
Para isso, precisamos lembrar da seguinte fórmula:
Onde , sendo a velocidade do observador em relação à fonte. Além disso, será a frequência medida pelo observador e a frequência própria da fonte.
Passo 2
Lembrando que , temos:
No caso em que a fonte e o observador estão se afastando, temos:
Passo 3
Para o caso em que a fonte e o observador estão se aproximando, iremos utilizar a seguinte fórmula:
Veja que é a mesma fórmula que usamos antes, a única diferença é que temos sinais diferentes!
Substituindo os valores, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 179-35.
Supondo que a equação abaixo possa ser aplicada, determine com que velocidade um motorista teria que passar por um sinal vermelho para que ele parecesse verde. Tome como o comprimento de onda da luz vermelha e como o comprimento de onda da luz verde.
Passo 1
Utilizando a expressão acima, teremos:
Assim, a velocidade será dada por:
Resposta
Exercício Resolvido #5
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 183-78.
Um transmissor de radar está em repouso em um referencial que se move para a direita com velocidade em relação ao referencial .
Um contador mecânico (que pode ser considerado um relógio) do referencial , com um período (no referencial ), faz com que o transmissor emita pulsos de radar que se propagam com a velocidade da luz e são recebidos por , um receptor no referencial .
Qual é o período do contador do ponto de vista do observador , que está em repouso no referencial ?
Mostre que no receptor no intervalo de tempo entre os pulsos recebidos não é nem , mas
Explique por que o receptor e o observador , que estão em repouso no mesmo referencial, medem um período diferente para o transmissor . (Sugestão: Um relógio e um pulso de radar não são a mesma coisa.)
Passo 1
Qual é o período do contador do ponto de vista do observador , que está em repouso no referencial ?
O período marcado pelo observador no referencial pode ser calculado através da equação de dilatação do tempo:
Passo 2
Mostre que no receptor no intervalo de tempo entre os pulsos recebidos não é nem , mas
O período , por definição, é igual ao inverso da frequência, logo:
A frequência é dada pela equação do efeito Doppler, logo:
Substituindo por , teremos:
Assim, o período será:
Onde :
Passo 3
Explique por que o receptor e o observador , que estão em repouso no mesmo referencial, medem um período diferente para o transmissor .
O efeito Doppler combina dois fenômenos físicos: a dilatação do tempo devido ao fato da fonte se movimentar com altas velocidades e as diferenças de tempo de viagem envolvidas na emissão periódica. Assim, não basta analisar os dois referenciais, os resultados desses fenômenos variam localmente.
Resposta
Exercício Resolvido #6
PUCRIO-P3-2012.2-1i
A galáxia NGC 7319 está a aproximadamente anos-luz da Terra. A análise do espectro luminoso emitido por essa galáxia mostra um pico de intensidade no comprimento de onda . Essa emissão no laboratório terrestre tem comprimento de onda . Considere tal efeito devido exclusivamente ao efeito Doppler.
Determine a velocidade radial dessa galáxia em relação à Terra e diga se ela está se aproximando ou se afastando do nosso planeta. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos lá...
Primeira coisa que precisamos aqui é saber qual é o comprimento de onda recebido e qual o comprimento de onda próprio, que realmente é emitido pela fonte .
Olhando o nosso enunciado, temos que uma análise do espectro luminoso emitido por essa galáxia mostra um pico de intensidade no comprimento . Essa análise foi feita com o espectro que foi emitido da galáxia. Mas concorda comigo que ninguém foi lá na galáxia medir o comprimento, né... Então esse é o nosso !
E o comprimento próprio emitido pela fonte... como podemos saber, se ninguém vai lá na galáxia medir? Aí que entra o experimento: Recriaram essa emissão, em um laboratório terrestre, e mediram o comprimento de onda. Como foi recriado a emissão, esse comprimento medido é igual ao comprimento próprio (isso considerando que deu tudo certo no experimento rs). Aí está o nosso comprimento próprio
Agora que analisamos o enunciado, bora pra questão!
Passo 2
Então, para determinar a velocidade da galáxia, podemos utilizar a seguinte relação:
Substituindo os valores, temos:
Podemos perceber que , portanto, a galáxia está se afastando da Terra.
Resposta
A fonte está se afastando.
Exercício Resolvido #7
PUCRIO-P3-2013.1-1a
As estrelas emitem uma luz com comprimento de onda produzida por átomos de Hidrogênio na estrela.
Calcule o comprimento de onda dessa luz recebido na Terra, supondo que a estrela se afasta da Terra com velocidade . Considere tal efeito devido exclusivamente ao efeito Doppler. Justifique sua resposta.
Passo 1
Normalmente, as fórmulas de efeito Doppler Relativísco determinam frequência, no entanto, caso a velocidade da fonte seja muito menor que a velocidade da luz, que é o caso da estrela que se afasta da Terra, temos a seguinte aproximação, quenos dará diretamente o comprimento de onda :
Substituindo os valores, temos:
Podemos perceber que , o que é de se esperar, visto que a fonte está se afastando.
Resposta
A fonte está se afastando.