Exercícios Resolvidos de Fórmula de Bhaskara e Método da Soma e Produto

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Enunciado

Determine os pontos se existirem, nos quais a parábola intersecta os eixos y e x:

  1. y = x 2 - 4 x + 4
  2. y = x 2 + 2 x - 3
  3. y = x 2 - 6 x + 9
  4. y = x 2 - 4

Passo 1

Vamos lembrar que para intersectar o eixo y, precisamos que x = 0 e para intersectar o eixo x precisamos de y = 0 . Assim, vamos analisar cada função.

  1. y = x 2 - 4 x + 4
  2. Eixo y:

    Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

    y = ( 0 ) 2 - 4 ( 0 ) + 4

    y = 4

    Assim a função intercepta o eixo y em ( 0,4 )

    Eixo x:

    Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

    x 2 - 4 x + 4 = 0

    Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1

    b = - 4

    c = 4

    O nosso delta é encontrado da seguinte forma:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = ( - 4 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 4 )

    ∆ = 16 - 16 = 0

    Existe apenas uma raiz:

    x ' = x " = - b ± ∆ 2 a = - b ± 0 2 a = - b 2 a

    x ' = x " = - ( - 4 ) 2 ( 1 ) = 2

    Assim a função intercepta o eixo x em ( 2 , 0 )

    Passo 2

  3. y = x 2 + 2 x - 3
  4. Eixo y:

    Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

    y = ( 0 ) 2 + 2 0 - 3

    y = - 3

    Assim a função intercepta o eixo y em ( 0   3 )

    Eixo x:

    Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

    x 2 + 2 x - 3 = 0

    Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1 .

    b = 2

    c = - 3

    Calculando o delta:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = ( 2 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 3 )

    ∆ = 4 + 12 = 16

    Existem apenas duas raízes:

    x ' = - b + ∆ 2 a

    x ' = - 2 + 16 2 ( 1 ) = - 2 + 4 2 = 2 2 = 1

    A segunda raiz:

    x ' ' = - b - ∆ 2 a

    x ' ' = - 2 - 16 2 1 = - 2 - 4 2 = - 6 2 = - 3

    Assim a função intercepta o eixo x em ( 1 , 0 ) e ( - 3,0 )

    Passo 3

  5. y = x 2 - 6 x + 9
  6. Eixo y:

    Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

    y = ( 0 ) 2 - 6 ( 0 ) + 9

    y = 9

    Assim a função intercepta o eixo y em ( 0 , 9 )

    Eixo x:

    Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

    x 2 - 6 x + 9 = 0

    Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1 .

    b = - 6

    c = 9

    O nosso delta é encontrado da seguinte forma:

    ∆ = b 2 - 4 a c

    ∆ = ( - 6 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 9 )

    ∆ = 36 - 3 6 = 0

    Existe apenas uma raiz:

    x ' = x " = - b ± ∆ 2 a = - b ± 0 2 a = - b 2 a

    x ' = x " = - ( - 6 ) 2 ( 1 ) = 3

    Assim a função intercepta o eixo x em ( 3 , 0 )

    Passo 4

  7. y = x 2 - 4

Eixo y:

Precisamos de x = 0 , assim vamos substituir na nossa função.

y = ( 0 ) 2 - 4

y = - 4

Assim a função intercepta o eixo y em ( 0   4 )

Eixo x:

Agora precisamos que y = 0 , ou seja:

x 2 - 4 = 0

Para resolver, vamos usar Bhaskara, onde: a = 1

b = 0

c = - 4

Calculando o delta:

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = ( 0 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 4 )

∆ = 0 + 1 6 = 16

Existem apenas duas raízes:

x ' = - b + ∆ 2 a

x ' = 0 + 16 2 ( 1 ) = 0 + 4 2 = 4 2 = 2

A segunda raiz:

x ' ' = - b - ∆ 2 a

x ' ' = 0 - 16 2 1 = 0 - 4 2 = - 4 2 = - 2

Assim a função intercepta o eixo x em ( 2 , 0 ) e ( - 2 , 0 )

Resposta

  1. Eixo y: ( 0,4 )
  2. Eixo x:   ( 2,0 )

  3. Eixo y: ( 0 ,   - 3 )
  4. Eixo x:   ( - 3 , 0 ) e 1,0

  5. Eixo y: ( 0 , 9 )
  6. Eixo x:   ( 3 , 0 )

  7. Eixo y: ( 0 ,   - 4 )

Eixo x:   ( 2,0 ) e ( - 2,0 )