Exercícios Resolvidos de Funções de Transferência no Simulink

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Enunciado

Considere o circuito RC abaixo:

Onde R = 1000   Ω , C = 0,001   F , a constante α do sensor equivale a 1000 e i é a corrente elétrica.

A entrada do sistema RC é uma tensão u ( s ) e a saída é y ( s ) . Quando desconsideramos o sensor, y ( s ) = v c e a função de transferência do sistema é:

G 1 s = v c u ( s ) = 1 1 + R C s

Quando o sensor é levado em consideração, y ( s ) = α i ( s ) e a função de transferência se torna:

G 2 s = α i ( s )   u ( s ) = α C s 1 + R C s

Usando o SIMULINK, construa o diagrama de blocos em malha fechada do circuito RC para G 1 ( s ) e G 2 ( s ) e simule a resposta ao degrau para as duas malhas.

Passo 1

Neste exercício, construiremos dois diagramas de blocos em um mesmo arquivo do SIMULINK, para compararmos as respostas ao degrau. Um diagrama terá como função de transferência G 1 s e o outro, G 2 s .

Ambos os diagramas terão:

  • Uma entrada, que será um bloco “Step”, simulando um degrau;
  • Um bloco “Sum” para construirmos o sistema em malha fechada;
  • Um bloco “Transfer Fcn” para entrarmos com a função de transferência.

A saída de ambos os diagramas será um bloco “Scope”, cujas propriedades alteraremos para ter os gráficos da resposta de G 1 s e G 2 s na mesma janela. Dessa forma, poderemos compará-los.

Passo 2

Vamos começar inserindo as entradas dos dois diagramas de blocos. Em um novo modelo no SIMULINK, insira dois blocos “Step”, um em cima do outro:

Em seguida, insira dois blocos “Sum”, um para cada sistema em malha fechada. Você encontrará esse bloco na biblioteca “Math Operations”:

O bloco “Sum” tem duas entradas e uma saída. Por padrão, o “Sum” soma dois sinais de entrada e o resultado é dado pela saída do bloco. A soma dos dois sinais é indicada pelo sinal de + de cada entrada.

Em uma malha fechada, fazemos a diferença entre um sinal de referência (no caso, o bloco “Step”) e o resultado da multiplicação entre esse sinal de referência e uma função de transferência (o sinal que sairá dos blocos “Transfer Fcn” representando G 1 ( s ) e G 2 ( s ) , como veremos mais pra frente).

Por isso, temos que alterar os parâmetros do bloco. Dê um duplo-clique em um dos blocos “Sum” e mude a propriedade a “List of signs”, destacada em vermelho abaixo:

Para que seja feita a subtração de sinais, troque o | + + por | + - . Clique em “OK” e faça o mesmo procedimento para o outro “Sum”. Você verá que os sinais dos blocos mudaram:

Passo 3

O próximo passo é inserir G 1 ( s ) e G 2 ( s ) no modelo. Vamos fazer com que o diagrama de blocos de cima represente o circuito RC sem sensor, isto é, o diagrama de blocos de cima terá como função de transferência G 1 ( s ) . Já o diagrama de blocos que ficará embaixo representará o circuito com sensor, ou seja, a função de transferência será G 2 ( s ) .

Vamos começar por G 1 ( s ) : vá à biblioteca “Continuous” e arraste um bloco “Transfer Fcn” para o modelo, alinhado com o “Step” e o “Sum” da parte de cima:

Para definir G 1 ( s ) , dê um duplo-clique sobre o bloco “Transfer Fcn” que você acabou de incluir no modelo para acessar seus parâmetros. Vamos mexer nos parâmetros “Numerator coefficients” (destacado em vermelho abaixo) e “Denominator coefficients” (destacado em azul).

Esses parâmetros recebem vetores com coeficientes de polinômios, indo do elemento de maior expoente ao de menor expoente. No “Numerator coefficients”, o vetor tem os coeficientes do polinômio do numerador de G 1 ( s ) . Já o vetor “Denominator coefficients” contém os coeficientes do polinômio do denominador de G 1 ( s ) .

O numerador de G 1 ( s ) é 1 , logo, não precisamos mudar o [ 1 ] do campo destacado em vermelho.

O polinômio do denominador é 1 + R C s = 1 + 1000 ∙ 0,001 s = 1 + s . Logo, também não precisamos alterar o campo destacado em azul, pois o vetor de coeficientes coincide com o padrão: 1 1 .

Simplesmente clique em “OK”. Vamos construir o diagrama de blocos do circuito RC com sensor.

Passo 4

Insira um novo bloco “Transfer Fcn”, alinhado com os blocos “Step” e “Sum” de baixo:

Altere os parâmetros “Numerator coefficients” e “Denominator coefficients” do bloco que você acabou de inserir, atualizando os vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de G 2 ( s ) .

O numerador de G 2 s   é α C s = 1000 ∙ 0,001 s = s , logo, devemos trocar o [ 1 ] do campo “Numerator coefficients” por [ 1 0 ] .

O polinômio do denominador é igual ao de G 1 ( s ) : 1 + R C s = 1 + 1000 ∙ 0,001 s = 1 + s . Logo, não precisamos alterar o campo “Denominator coefficients”, pois, novamente, o vetor de coeficientes coincide com o padrão: 1 1 .

Dessa forma, os parâmetros “Numerator coefficients” e “Denominator coefficients” de G 2 ( s ) ficam assim:

Clique em “OK” para registrar as alterações. Por enquanto, o modelo está assim:

Passo 5

Vamos inserir um bloco “Scope” para ser a saída de ambos os diagramas de blocos:

Precisamos que o “Scope” tenha duas entradas em vez de uma, para termos dois gráficos em uma mesma janela. Para isto, dê dois-cliques sobre o “Scope” para abrir sua janela e ter acesso aos seus parâmetros. Em seguida, clique na engrenagem destacada abaixo para abrir a janela com as propriedades do “Scope”.

Na aba “General” em “Scope parameters”, altere a propriedade “Number of axes” (destacada na imagem abaixo) de 1 para 2 e clique em “OK”. A janela do “Scope” ganhará mais um gráficos, como na imagem abaixo.

Feche a janela do “Scope” e veja que o bloco “Scope” ganhou uma setinha de entrada a mais:

Conecte os blocos como se fosse uma malha aberta, conectando a saída da “Transfer Fcn” com G 1 ( s ) na entrada superior de “Scope” e a saída de “Transfer Fcn” com G 2 ( s ), na entrada inferior de “Scope”:

Passo 6

Vamos fechar as malhas de ambos os diagramas. Para cada um deles, clique sobre a entrada de “Sum” que tem o sinal de menos e arraste, para surgir uma flecha vermelha tracejada. Conecte a extremidade “solta” dessa flecha na linha entre o bloco “Transfer Fcn” e o “Scope”, para criar um ponto de derivação:

Voilà! Modelo pronto! Agora é rodar a simulação, gerar os gráficos e ver as diferenças entre eles.

Resposta

O gráfico de cima representa a resposta ao degrau do circuito RC desconsiderando o sensor. Já o gráfico de baixo é a resposta ao degrau considerando o sensor.