Exercícios Resolvidos de Funções de Transferência no Simulink

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Enunciado

O diagrama abaixo apresenta um sistema em malha fechada onde na realimentação existe um ganho K 1 :

Usando o SIMULINK, encontre o limite de K 1 de tal forma que a resposta no tempo em malha fechada se mantenha estável.

Passo 1

Neste exercício, reproduziremos o diagrama de blocos do enunciado no SIMULINK. Logo, o modelo terá seis blocos:

  • A entrada do modelo será um bloco “Step”, simulando um degrau;
  • Um bloco “Sum” para construirmos o sistema em malha fechada;
  • Dois blocos “Transfer Fcn” para as funções de transferência F 1 e F 2 ;
  • Um bloco “Gain” para entrarmos com o ganho K 1 ;
  • A saída do modelo será um bloco “Scope”, para gerar o gráfico da resposta ao degrau.

Para encontrarmos o limite de K 1 , vamos ajustar o valor do bloco “Gain” até que o sistema se estabilize. A cada mudança de valor, rodaremos a simulação e usaremos o “Scope” para ver o gráfico da resposta ao degrau. Quando a resposta se tornar instável, encontraremos o limite de K 1 .

Passo 2

Em um modelo novo, insira um bloco “Step”. O enunciado não detalhou as propriedades do degrau, por isso vamos usar os parâmetros padrão do bloco.

Ao lado do bloco “Step”, insira um bloco “Sum”, para iniciar o sistema em malha fechada. Você encontrará esse bloco na biblioteca “Math Operations”:

Por padrão, as duas entradas de “Sum” tem um sinal de + , indicando que o bloco vai somar os dois sinais de entrada. Em uma malha fechada, usamos o bloco “Sum” para subtrair dois sinais. Por isso, devemos alterar o parâmetro “List of signs” do bloco, destacado em vermelho abaixo. Dê um duplo-clique sobre “Sum” para acessá-lo:

Para que seja feita a subtração de sinais, troque | + + por | + - no campo destacado em vermelho e clique em “OK”.

Passo 3

O próximo passo é inserir as duas funções de transferência no modelo. Vá à biblioteca “Continuous” e arraste dois blocos “Transfer Fcn” para o modelo, colocando-os em série, como na imagem abaixo:

Note que o bloco “Tranfer Fcn” mais à esquerda, representando F 1 , já é igual ao bloco que está na mesma posição no enunciado. Logo, não precisamos mexer em seus parâmetros e podemos partir para definir F 2 .

Dê um duplo-clique sobre o bloco “Transfer Fcn” mais à direita, que representará F 2 , para alterar os parâmetros “Numerator coefficients” (destacado em vermelho abaixo) e “Denominator coefficients” (destacado em azul).

Em ambos os campos destacados, entramos vetores com coeficientes de polinômios, indo do elemento de maior expoente ao de menor expoente. No “Numerator coefficients”, o vetor tem os coeficientes do numerador de F 2 . Já o vetor “Denominator coefficients” contém os coeficientes do denominador de F 2 .

O numerador de F 2 é 1 , logo, não precisamos mudar o padrão de [ 1 ] do campo destacado em vermelho.

O polinômio do denominador de F 2 é s + 3 , logo, troque 1 1 por 1 3 no parâmetro “Denominator coefficients”:

Por enquanto, o diagrama de blocos está com essa cara:

Passo 4

Insira um bloco “Scope”, alinhado com os blocos anteriores, para gerar o gráfico da resposta ao degrau. Em seguida, conecte os blocos, como se fosse uma malha aberta:

Lembrando que o bloco “Step” deve se conectar à entrada com o + do bloco “Sum”, já que é o sinal de referência da malha fechada.

Vamos adicionar ao diagrama o bloco que falta: o bloco “Gain”, pertencente à biblioteca “Math Operations”:

O bloco “Gain” tem uma entrada e uma saída. A entrada de “Gain”deve se conectar à saída de F 2 . Já a saída de “Gain” deve se conectar à entrada de “Sum” que tem o sinal - , conforme a figura do enunciado.

Dica para deixar o diagrama mais organizado: podemos girar em 90 ° um bloco no SIMULINK ao selecioná-lo e apertar Ctrl+R. Vamos fazer isso com o “Gain”, para ele ficar igualzinho ao diagrama no enunciado. Você vai acabar tendo que apertar Ctrl+R duas vezes para que o diagrama fique assim:

Bora fechar a malha? Conecte a saída de “Gain” à entrada de “Sum” restante:

Em seguida, clique sobre a entrada de “Gain” e arraste, para aparecer a flecha vermelha tracejada cuja extremidade “solta” você conectará na linha entre o bloco com F 2 e o “Scope”:

O diagrama de blocos está pronto!

Passo 5

Agora temos que ir ajustando o valor de “Gain”, que representa K 1 , para encontrarmos o valor máximo (ou mínimo) que K 1 pode assumir sem que o sistema se torne instável. Vamos começar com K 1 = 1 mesmo, que é o valor padrão (como podemos ver no diagrama que fizemos no SIMULINK).

Rode a simulação com o diagrama como ele está e veja o gráfico com a resposta:

A resposta está bem estável, podemos alterar o valor de K 1 . Para isto, dê um duplo-clique sobre “Gain” e mude valor do parâmetro “Gain”, destacado em vermelho abaixo:

Vamos tentar usar valores maiores de K 1 . Troque 1   por 2 e veja que o “Gain” assumiu um novo valor no diagrama de blocos:

Rode a simulação novamente para ver o novo gráfico:

A resposta continua estável. Você pode continuar aumentando K 1 e verá que esse comportamento não muda: a resposta continuará estável.

Passo 6

Outra alternativa é diminuir K 1 , fazendo com que ele assuma valores negativos. Se você fizer K 1 = - 3 , você terá:

Opa! A resposta não está mais parecida com o degrau, está parecendo uma rampa! Isso indica que estamos no limite da estabilidade. Se fizermos K 1 < - 3 , por exemplo, K 1 = - 4 , teremos:

Note que para K 1 ≤ - 3 , a resposta cresce indefinidamente e não se estabiliza, como podemos ver nos gráficos. Logo, K 1 deve ser maior que - 3 para que o sistema se mantenha estável.

Resposta

Para que o sistema se mantenha estável, K 1 > - 3 .