P3 de Cálculo 1 da UnB - 2021.1

Responda os itens com respeito à integral

a) Utilize a fórmula de integração por partes fazendo e e determine o valor da integral.

b) Utilize a fórmula de integração por partes fazendo e e comente por que essa escolha não é boa.

c) A integral representa o volume de um sólido gerado pela de revolução de uma região, em torno do eixo . Descreva as curvas que delimitam essa região no plano.

Deseja-se calcular a área sob o gráfico da função para .

a) Explique, por meio de um teorema, por que utilizamos uma primitiva da função para o cálculo da área sob seu gráfico.

b) Utilize a substituição e reescreva a integral apenas em termos da variável .

c) Utilize a substituição e reescreva a integral apenas em termos da variável .

d) Escolha um dos itens acima para determinar a área desejada.

Um trem de toneladas parte do repouso e seus motores lhe fornecem uma força de Newtons. Considerando o atrito do ar, é possível mostrar que a velocidade, , do trem satisfaz a equação .

a) Use a substituição e integre com respeito ao tempo.

b) Integre a equação acima e determine em função de uma constante arbitrária de integração.

c) Sabendo que , determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a velocidade do trem após um longo período de tempo.