UnB. Cálculo 1. Prova P3. 2021.1. Questão 3.
Um trem de toneladas parte do repouso e seus motores lhe fornecem uma força de Newtons. Considerando o atrito do ar, é possível mostrar que a velocidade, , do trem satisfaz a equação .
a) Use a substituição e integre com respeito ao tempo.
b) Integre a equação acima e determine em função de uma constante arbitrária de integração.
c) Sabendo que , determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a velocidade do trem após um longo período de tempo.
Passo 1
Iae, meus queridos! Tudo certinho?
Muito interessante essa questão, vamos utilizar o método de integração por substituição, o famoso .
Essa questão pode ser um pouco complexa, então é bastante legal aprende-la.
No item a), se , , então nossa integral será
Resolvendo a integral, temos
Ou seja
Nossa integral então será
Passo 2
No item b), vamos integrar a equação
Elevando os dois lados à para tirar o , continuamos
Fala a verdade, isso é muito bonito 😍
Passo 3
No item c) vamos usar a equação que encontramos para encontrar a constante .
Se , logo
Encontramos nossa constante, agora vamos em busca da nossa velocidade quando for muito grande
Lembre que tende a , então
Essa resposta é válida de acordo com as informações que temos no enunciado, onde diz que a velocidade varia entre e .
É isso! Muito bacana! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
a)
b)
c)