Lista de Exercícios VC de Cálculo 3 da IME - 2021

Nos itens abaixo, faça o que se pede.

1. Estude a convergência das séries e , ;
2. Determine a solução geral da EDO ;
3. Resolva a EDO

Nos itens abaixo, faça o que se pede.

1. Estude a convergência das séries e , ;
2. Determine a solução geral da EDO ;
3. Resolva a EDO

Mostre que, se e converge, então a série também converge.

Seja . Para resolver a equação não homogênea , por variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. Suponha que a solução de seja conhecida, e que não se anule no intervalo .

1. Prove que a outra solução de pode ser dada pela fórmula , onde , e é um ponto em .
2. Mostre que e são linearmente independentes em .

Determine os valores de para os quais o problema de valor de contorno abaixo tem solução não-nula. Para esses tais valores de , exiba as soluções não nulas.

Avalie, quanto à convergência ou não, a sequência definida recursivamente abaixo, onde é um número real. Para os valores de que tornam a sequência convergente, determine seu limite.

Seja . Para resolver a equação não homogênea , por variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. Suponha que a solução de seja conhecida, e que não se anule no intervalo .

1. Prove que a outra solução de pode ser dada pela fórmula , onde , e é um ponto em .
2. Mostre que e são linearmente independentes em .