IME, Cálculo 3, 2021, VC, Q1
Avalie, quanto à convergência ou não, a sequência definida recursivamente abaixo, onde é um número real. Para os valores de que tornam a sequência convergente, determine seu limite.
Passo 1
Faaala, galerinha! Notemos, inicialmente, que se a sequência for convergente, então para seu limite e:
O que é impossível para . Assim se a sequência não é convergente, pela propriedade contra-positiva. Quando , a recorrência se reduz à geométrica:
De termo geral e limite :
Passo 2
Agora, no caso , vamos provar que a sequência é monótona e limitada e, portanto, convergente. Com efeito, prova-se facilmente, por indução, que . Observe que:
Pela desigualdade das médias, os termos positivos: e são tais que:
O que significa que é limitada inferiormente. Para provar que é decrescente, basta notar que, para :
E como para , então:
Conclui-se, assim que a sequência é convergente. Como visto, com limite
Resposta
Para , a sequência é divergente. Para , converge para e para , para .