Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Avalie, quanto à convergência ou não, a sequência a n n ∈ N   definida recursivamente abaixo, onde β é um número real. Para os valores de β que tornam a sequência convergente, determine seu limite.

a 1 = 1 ,           a n + 1 = 1 2 a n + β a n

Passo 1

Faaala, galerinha! Notemos, inicialmente, que se a sequência for convergente, então para seu limite L = a n + 1 = a n e:

a n + 1 = 1 2 a n + β a n ⇒ L = 1 2 L + β L ⇒ L 2 = β 2 L ⇒ L 2 = β

O que é impossível para β < 0 . Assim se β < 0 a sequência não é convergente, pela propriedade contra-positiva. Quando β = 0 , a recorrência se reduz à geométrica:

a 1 = 1 ,           a n + 1 = 1 2 a n

De termo geral e limite L :

a n = 1 2 n - 1                   e                           L = 0

Passo 2

Agora, no caso β > 0 , vamos provar que a sequência é monótona e limitada e, portanto, convergente. Com efeito, prova-se facilmente, por indução, que a n > 0 ,   ∀ n ∈ N . Observe que:

a n + 1 = 1 2 a n + β a n

Pela desigualdade das médias, os termos positivos: a n e β / a n são tais que:

1 2 a n + β a n ≥ a n ⋅ β a n

⇒ a n + 1 ≥ β ,       n ≥ 1

O que significa que a n n ∈ N é limitada inferiormente. Para provar que é decrescente, basta notar que, para n ≥ 2 :

a n a n + 1 = a n 1 2 a n + β a n

= 2 a n 2 a n 2 + β

E como β ≤ a n 2 para n ≥ 2 , então:

a n a n + 1 = 2 a n 2 a n 2 + β ≥ 2 a n 2 a n 2 + a n 2 = 1

Conclui-se, assim que a sequência é convergente. Como visto, com limite L = β   .

Resposta

Para β < 0 , a sequência é divergente. Para β = 0 , converge para 0 e para β > 0 , para β .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n