Nos itens abaixo, faça o que se pede.

  1. Estude a convergência das séries ∑ n = 1 ∞ n 2 e - n 3 e ∑ n = 1 ∞ x - 2 n 3 n , x ∈ R ;
  2. Determine a solução geral da EDO y 4 + 4 y ' ' ' + 8 y ' ' + 8 y ' + 4 y = 0 ;
  3. Resolva a EDO x d y - y d x = x y 1 2 d x

Passo 1

Faaala, pessoal. Esta trata-se de uma equação autônoma ou de coeficientes constantes:

y 4 + 4 y ' ' ' + 8 y ' ' + 8 y ' + 4 y = 0

Para esta, tome y x = e r x , tal que:

e r x r 4 + 4 r 3 + 8 r 2 + 8 r + 4 = 0

Como e r x > 0 ,   ∀ x ∈ R , temos a equação característica da EDO:

r 4 + 4 r 3 + 8 r 2 + 8 r + 4 = 0

⇒ ( r 4 + 4 r 3 + 4 r 2 ) + ( 4 r 2 + 8 r + 4 ) = 0

⇒ r 2 + 2 r 2 + 4 r 2 + 2 r + 4 = 0

⇒ r 2 + 2 r + 2 2 = 0

⇒ r = - 2 ± 4 - 8 2 = - 1 ± i

Assim, temos raízes complexas conjugadas duplas: - 1 ± i .

Passo 2

Quando as raízes de uma equação característica são da forma r = μ ± λ i , temos soluções associadas { e μ x sin ⁡ λ x , e μ x cos ⁡ λ x } e quando temos raízes de multiplicidade m as soluções associadas são { u 1 x ,   x u 1 x ,   … ,   x m - 1 u 1 ( x ) } . Assim, as soluções associadas às raízes encontradas são:

{ e - x sin ⁡ x , e - x cos ⁡ x ,   x e - x sin ⁡ x , x e - x cos ⁡ x   }

L.I. por definição. Logo, a solução geral da EDO é:

y x = c 1 e - x sin ⁡ x + c 2 e - x cos ⁡ x + c 3 x e - x sin ⁡ x + c 4 x e - x cos ⁡ x  

Resposta

y x = c 1 e - x sin ⁡ x + c 2 e - x cos ⁡ x + c 3 x e - x sin ⁡ x + c 4 x e - x cos ⁡ x  

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