Seja . Para resolver a equação não homogênea , por variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. Suponha que a solução de seja conhecida, e que não se anule no intervalo .
- Prove que a outra solução de pode ser dada pela fórmula , onde , e é um ponto em .
- Mostre que e são linearmente independentes em .
Passo 1
Faaala pessoal. Para provar independência entre funções deriváveis basta aplicar o determinante Wronskiano. Se acharmos um valor de , tal que , então as funções são L.I. em e . Assim:
Passo 2
Porém, , logo pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Assim,
Como , uma potência desse número é positiva também, logo:
E e são linearmente independentes.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)