IME, Cálculo 3, 2021, VC, Q4B
Seja . Para resolver a equação não homogênea , por variação de parâmetros, é necessário conhecer duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada. Suponha que a solução de seja conhecida, e que não se anule no intervalo .
- Prove que a outra solução de pode ser dada pela fórmula , onde , e é um ponto em .
- Mostre que e são linearmente independentes em .
Passo 1
Faaala pessoal. Para provar independência entre funções deriváveis basta aplicar o determinante Wronskiano. Se acharmos um valor de , tal que , então as funções são L.I. em e . Assim:
Passo 2
Porém, , logo pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Assim,
Como , uma potência desse número é positiva também, logo:
E e são linearmente independentes.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado. x , x ⋅ e x
Em cada um dos problemas de 47 a 49, use o resultado do Problema 46 para encontrar a adjunta da equação diferencial dada. 1 - x 2 y ' ' - 2 x y ' + α ( α + 1 ) y = 0
Em cada um dos problemas de 29 a 32, encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial sem resolver a equação. x 2 ⋅ y ' ' + x ⋅ y ' + ( x 2 - ∞ 2 ) ⋅ y = 0
Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a y ' ' + 3 x 2 y ' + x y = 0
Se f , g e h são funções diferenciáveis, mostre que W (f g , f h) = f^2 W (g , h) .