P2 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2013.2

Como você definiria uma aplicação para uma v.a. que segue um modelo exponencial? Dê um exemplo real onde você recomendaria a utilização deste modelo.

b) Mostre que o coeficiente de correlação é igual a 1 quando e .

b) Seja uma sequência de v.a.’s independentes com distribuição . Se , quem é a distribuição de ? E da v.a. .

A duração de componentes eletrônicos é às vezes modelada pela densidade Rayleigh, mostrada a seguir:

Deduza a densidade da v.a. e apontar o nome (modelo) desta distribuição.

Suponha e dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta para , e . Mostre como encontrar:

1. O valor de , em função de e , para que seja uma distribuição conjunta. E escreva a função conjunta.
2. A marginal de e de e indique qual o nome (modelo) destas distribuições.
3. Podemos afirmar que e são independentes? Justifique sua resposta.

A vazão instantânea de um rio em um determinado momento do mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância iguais a . Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões:

1. Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea do mês mais úmido que não é excedido com de probabilidade. Calcules este valor.
2. Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de março apresentar valores entre e .
3. Suponha que tenhamos uma amostra de medições de vazões instantâneas dos meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a .

Sejam e v.a. contínuas com densidade conjunta:

Dados:

Marginal de :

Marginal de :

Pede-se:

1. Densidade condicional de dado .
2. Média condicional de dado , e calcule o valor quando .
3. Variância condicional de dado , e calcule o valor quando .