P1 de Probabilidade e Estatística da PUCRIO - 2017.1

Suponha que um experimento biológico deva ser repetido no mínimo 4 vezes com sucesso para que seja validado. A cada dia só se pode realizar um experimento, que, em função de variações das condições do meio pode resultar em erro, anulando completamente tal tentativa. A chance de um experimento chegar até o fim sem sucesso é conhecida e igual a 80%. O pesquisador trabalhará todos os dias, inclusive finais de semana e feriados até validar o seu experimento.

a) Identifique o modelo probabilístico que modela a chance do experimento ser validado em x dias e apresente o valor esperado do número de dias que ele trabalhará.

b) Qual a probabilidade do pesquisador validar o seu experimento em exatos 4 dias?

c) Qual a chance dele demorar mais que 7 dias para validar o experimento?

Seja um conjunto de dados ordenados {7, 10, 30, 35, 50,52} , pede-se:

1. Mediana
2. Moda
3. Segundo decil
4. Primeiro quartil
5. Trigésimo quinto percentil

Observação: Deve-se identificar necessariamente a posição da estatística pedida.

Suponha uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade , com suporte no intervalo .

a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”.

b) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”.

Considere o experimento aleatório onde um dado não viciado (equilibrado) é lançado e o valor da sua face é representado por . Considere a seguinte v.a.: . Defina a função de probabilidade acumulada, , com base na definição da v.a. , acima, e esboce o seu gráfico. Seja preciso tanto nos cálculos como no desenho.

b) Se 3 eventos A, B e C são independentes, qual é a probabilidade de interseção desses 3 eventos?

a) Se “X” é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson.

Uma fábrica de televisores compra 1/5 de transistores que necessita de um fornecedor que garante uma confiabilidade (probabilidade de funcionar corretamente sem defeitos) de 80% ao seu material durante um certo período. A aquisição do restante material é igualmente dividida por duas outras firmas que garantem, respectivamente, confiabilidades de 85% e 95% durante o mesmo período de tempo.

b) Para cada um dos fornecedores, determine a probabilidade de que o transistor escolhido ao acaso do estoque tenha sido comprado deste fornecedor sabendo-se que este transistor se revelou defeituoso, aplicando o Teorema de Bayes.

Observação: mostre os resultados considerando 4 casas decimais.

c) Seja X uma v.a. discreta e f(x) a sua função de probabilidade: Quem seria a probabilidade da variável aleatória “X” ser igual a “x*”, onde x* é um possível valor que X pode assumir. E se X for uma v.a. contínua e f(x) a sua função de densidade. Quem seria a probabilidade de X de ser igual a “x*”.

Uma fábrica de televisores compra 1/5 de transistores que necessita de um fornecedor que garante uma confiabilidade (probabilidade de funcionar corretamente sem defeitos) de 80% ao seu material durante um certo período. A aquisição do restante material é igualmente dividida por duas outras firmas que garantem, respectivamente, confiabilidades de 85% e 95% durante o mesmo período de tempo.

a) Seleciona-se ao acaso um transistor do estoque da fábrica para teste. Qual a probabilidade dele funcionar corretamente?

Observação: mostre os resultados considerando 4 casas decimais.