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Exercícios Resolvidos de Integrais Duplas Impróprias – Intervalos Infinitos

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Exercício 12

Enunciado

Encontre o resultado da integral dupla imprópria abaixo:

∬ D   x y e - x 2 + y 2   d A

Onde D = x ,   y ∈ R |   x ≥ 0 ,   0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Bem, como em qualquer caso de integral dupla, vamos começar o nosso problema entendendo melhor a região D de integração:

  1. A faixa   0 ≤ y ≤ 1 , significa que a região só pode estar dentro de pedaço

    2. Onde o y varia entre 0 e 1 , entende?

  2. O problema ainda delimita a faixa pela direita quando ele fala que x ≥ 0 ...

Eis a região D 😊!

Passo 2

Você já deve ter notado que a região cresce infinitamente em x e esse é o motivo para a integral dupla ser imprópria. Vamos montar aqui essa integral:

∬ D   x y e - x 2 + y 2   d A

Como na região D sabemos a variação de x e de y ...

1 º )           0 ≤ y ≤ 1

2 º )                           x ≥ 0

Basta colocar esses intervalos na integral dupla. MAS ATENÇÃO!!! Na integral mais externa, você deve colocar a variação numérica, que no caso é o intervalo de y ...

∬ D   x y e - x 2 + y 2   d A =

∫ 0 1 ∫ 0 ∞ x y e - x 2 + y 2   d x d y

Veja que como o x não tem limite superior, seu limite é o infinito 😉.

Para facilitar os cálculos, tiraremos o infinito da integral e trabalharemos com um limite:

∫ 0 1 ∫ 0 ∞ x y e - x 2 + y 2   d x d y = ∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x d y

Então agora é só calcularmos a integral dupla mesmo como manda o figurino, ou seja, primeiro a de dentro e depois a de fora. Bora?

Passo 3

Vamos começar com o cálculo da integral de dentro...

∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x

Não se assuste com n , pois ele é um número qualquer. Pense por exemplo como se ele fosse o número... sei lá, 2. Como a integral é em x , y é constante...

∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x = y ∫ 0 n x e - x 2 + y 2   d x

Para resolvermos essa integral de dentro façamos a mudança de coordenadas...

- x 2 + y 2 = a       →  

Derivando em relação a x para determinar o x d x ...

d a = - 2 x   d x         →

x d x = - d a 2

Trocando também os limites de integração...

x = 0             →                   a = - x 2 + y 2 = - y 2                            

x = n             →                   a = - x 2 + y 2 = - n 2 + y 2

Logo, substituindo tudo na integral...

y ∫ 0 n x e - x 2 + y 2   d x = y ∫ - y 2 - n 2 + y 2 e a   - d a 2 =

- y 2 ∫ - y 2 - n 2 + y 2 e a   d a =

- y 2 e a - y 2 - n 2 + y 2 =

Substituindo os limites de integração, concluímos que a integral de dentro é...

- y 2 e - n 2 + y 2 - e - y 2

Passo 4

Pegaremos, em seguida, o resultado anterior e jogar novamente dentro da integral dupla que estamos interessados como faríamos em qualquer integral dupla mesmo...

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ ∫ 0 n x y e - x 2 + y 2   d x d y =

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y 2 e - n 2 + y 2 - e - y 2 d y

Como buscamos um limite em n (nada a ver com y ) podemos tentar tirar o y de dentro do limite... Veja bem que...

e - n 2 + y 2 = e - n 2 ⋅ e - y 2

Então...

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y 2 e - n 2 ⋅ e - y 2 - e - y 2 d y =

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y 2 e - y 2 e - n 2 - 1 d y =

∫ 0 1 lim n → ∞ ⁡ - y e - y 2 2 e - n 2 - 1 d y

Logo, se y é constante, o termo - y e - y 2 / 2 pode vazar do limite...

∫ 0 1 - y e - y 2 2 ⋅ lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1 d y

Vamos resolver o limite separado...

Passo 5

lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1

Como e - n 2 por propriedade de potência é 1 / e n 2

lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 e n 2 - 1 =

- 1

Logo...

∫ 0 1 - y e - y 2 2 ⋅ lim n → ∞ ⁡ e - n 2 - 1 d y = ∫ 0 1 y e - y 2 2 d y

Passo 6

Por fim, temos que resolver a integral de dentro...

∫ 0 1 y e - y 2 2 d y =

1 2 ∫ 0 1 y e - y 2   d y

Fazendo uma mudança semelhante a que fizemos anteriormente...

- y 2 = b         →

d b = - 2 y   d y       →           y d y = - d b 2

Trocando os limites...

y = 0           →             b = 0

y = 1           →             b = - 1

1 2 ∫ 0 1 y e - y 2   d y = 1 2 ∫ 0 - 1 e b   - d b 2 =

- 1 4 ∫ 0 - 1 e b   d b =

- 1 4 e b 0 - 1 =

Finalmente, substituindo os limites obtemos...

- 1 4 e - 1 - e 0 =

- 1 4 e - 1 - 1

Resposta

- 1 4 e - 1 - 1

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