Suponha que e sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta e , e nula nos demais casos. Calcule os valores esperados de e .
Passo 1
Bom, antes de tudo, para a gente resolver a questão, precisamos lembrar das seguintes fórmulas da esperança:
Mas, como a nossa questão diz que e , os limites inferiores dessas integrais vão ser zero. Então, precisamos resolver o seguinte:
Passo 2
Vamos começar pela primeira integral, integrando primeiro em relação a :
Agora precisamos relembrar como resolver uma integral imprópria. Usamos o seguinte princípio:
Ou seja, calculamos a integral com intervalo limitado e tomamos o limite do resultado. Beleza? Vamos aplicar isso aqui.
Agora repare que
Então temos:
Agora vamos integrar em relação a usando a mesma ideia:
Vamos fazer integração por partes, fazendo:
Substituindo na nossa expressão, temos:
Agora, como dá uma interterminação , vamos aplicar a Regra de L’Hospital aqui:
Passo 3
Agora vamos resolver a outra integral, usando o mesmo raciocínio.
Então temos:
Agora vamos integrar em relação a usando a mesma ideia:
Vamos fazer integração por partes, como já fizemos, temos: