Exercícios Resolvidos de Introdução

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Enunciado

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t + 3 t 3 - t 2 2

Passo 1

A questão está nos pedindo para fazer a transformada de Laplace da função g ( t ) , ou seja, queremos:

L g t s = L e 2 t + 3 t 3 - t 2 2 s

Podemos separar essas transformadas em 3 blocos da seguinte forma:

= L e 2 t ( s ) + L 3 t 3 s - L t 2 2 ( s )

Podemos ainda colocar as constantes para fora:

= L e 2 t ( s ) + 3 L t 3 s - 1 2 L t 2 ( s )

Passo 2

Vamos começar, então, resolvendo o primeiro bloco:

L e 2 t ( s )

Agora vemos que essa transformada é tabelada. Então vamos lembrar do seguinte:

L [ e a t ] = 1 s - a

Comparando com o que temos, vemos que:

a = 2

Então,

L e 2 t ( s ) = 1 s - 2

Passo 3

Resolvendo, agora, o segundo bloco:

3 L t 3 s

Temos da nossa tabela que:

L t n s = n ! s n + 1

Comparando com o que temos, vemos que:

n = 3

Aplicando ao problema:

3 L t 3 s = 3 × 3 ! s 3 + 1

Aqui vamos abrir o fatorial que é esse 3 ! , ele quer dizer que vamos multiplicar todos os números até chegar no 3 , assim ó:

= 3 × 3 × 2 × 1 s 4 = 18 s 4

Passo 4

Para o terceiro, e último, bloco vamos utilizar a mesma propriedade do anterior.

1 2 L t 2 ( s )

Onde nesse caso,

n = 2

E aplicando ao problema:

1 2 L t 2 s = 1 2 × 2 ! s 2 + 1

= 1 2 × 2 × 1 s 3 = 1 s 3

Passo 5

Agora, podemos juntar todos os blocos:

L g t s = L e 2 t ( s ) + 3 L t 3 s - 1 2 L t 2 ( s )

Substituindo esses valores, então:

L g t s = 1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3

Resposta

1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3