Exercícios Resolvidos de Introdução

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Enunciado

Pela definição, calcule a transformada de Laplace da função (justificando os passos)

f t = e 2 t ,     0 ≤ t < 1 4 ,     1 ≤ t

Passo 1

Aqui vamos calcular a transformada de Laplace usando a definição, que é essa aqui:

L f t = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t    

Repara que nós temos dois intervalos para essa função:

    0 ≤ t < 1

    1 ≤ t

Então vamos separar a integral nesses dois intervalos:

L f t = ∫ 0 ∞ f ( t ) e - s t d t = ∫ 0 1 e 2 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Que vai ficar:

L f t = ∫ 0 1 e t 2 - s d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Passo 2

Vamos resolver uma integral de cada vez.

∫ 0 1 e t 2 - s d t

Para resolver essa integral, vamos usar a regra da substituição:

u = t 2 - s

d u = 2 - s d t

Além disso, quando:

t = 0 → u = 0

t = 1 → u = 2 - s

Substituindo:

∫ 0 1 e t 2 - s d t = ∫ 0 2 - s e u 2 - s d u

= e u 2 - s 0 2 - s

= e 2 - s 2 - s - e 0 2 - s

= e 2 - s 2 - s - 1 2 - s

Passo 3

Já na segunda:

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

Essa é uma integral imprópria, então:

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 1 x 4 e - s t d t

= 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s t s 1 x

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t = 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s x s - e - s . 1 s

= 4 lim x → ∞ ⁡ - e - s x s + e - s s

= 4 e - s s

Então:

∫ 1 ∞ 4 e - s t d t = 4 e - s s

Passo 4

Juntando as duas integrais, nossa transformada será:

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t = ∫ 0 1 e 2 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ 4 e - s t d t

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s

Prontinho! 😊

Resposta

L f t = e 2 - s 2 - s - 1 2 - s + 4 e - s s