Exercícios Resolvidos de Introdução

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Enunciado

Considere f ( t ) definida para 0 ≤ t ≤ ∞ . A Transformada de Laplace de f ( t ) é dada pela fórmula F s = L f   t = ∫ 0 ∞ e - s t d t . Determine L { e 5 t } .

Passo 1

Opa, tudo bem? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace de e 5 t . Então, podemos substituir na fórmula que a questão nos trouxe:

L e 5 t = ∫ 0 ∞ e 5 t   e - s t d t = ∫ 0 ∞ e 5 t - s t d t

Como essa é uma integral chamada de imprópria, no lugar do infinito no limite superior, podemos substituir por x e depois aplicamos o limite para x → ∞ da seguinte forma:

∫ 0 ∞ e 5 t - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e 5 t - s t d t

= lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e ( 5 - s ) t d t

Passo 2

Agora, vamos resolver essa integral e aplicar os limites inferior e superior.

lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e 5 - s t d t = lim x → ∞ ⁡ e 5 - s t 5 - s 0 x

Aplicnado os limites:

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - e 5 - s 0 5 - s

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s

Bom, chegamos em uma situação em que o limite pode assumir dois valores dependendo do valor de s . Então, vamos precisar analisar os dois casos.

Passo 3

Para o caso em que s < 5 :

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s = ∞ - 1 5 - s = ∞

Pois o expoente do e fica positivo, fazendo com que o primeiro termo cresca infinitamente.

Passo 4

Já para s > 5 :

l i m x → ∞ e 5 - s x 5 - s - 1 5 - s = 0 - 1 5 - s = 1 s - 5

Pois o expoente do e fica negativo, fazendo com que o primeiro termo seja desprezível.

Então,

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5

Resposta

L e 5 t = 1 s - 5         p a r a   s > 5