Considere definida para . A Transformada de Laplace de é dada pela fórmula . Determine.
Passo 1
Opa, tudo bem? Vamos lá! A questão quer que a gente calcule a transformada de Laplace de . Então, podemos substituir na fórmula que a questão nos trouxe:
Como essa é uma integral chamada de imprópria, no lugar do infinito no limite superior, podemos substituir por e depois aplicamos o limite para da seguinte forma:
Passo 2
Agora, vamos resolver essa integral e aplicar os limites inferior e superior.
Aplicnado os limites:
Bom, chegamos em uma situação em que o limite pode assumir dois valores dependendo do valor de . Então, vamos precisar analisar os dois casos.
Passo 3
Para o caso em que :
Pois o expoente do fica positivo, fazendo com que o primeiro termo cresca infinitamente.
Passo 4
Já para :
Pois o expoente do fica negativo, fazendo com que o primeiro termo seja desprezível.
Então,