Exercícios Resolvidos de Introdução

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Enunciado

Determine a Transformada de Laplace de f t = 5 - e 2 t + 6 t 2   e indique a única resposta correta:

      5 - 1 s - 2   - 6 s 3

    5 s 2 - 1 s - 2   + 6 s 3

    - 5 + 1 s - 2   + 6 s 3

    5 s - 1 s - 2   + 12 s 3

    5 s 4 - 1 s - 2   + 6 s 3

Passo 1

Fala aí!! Essa questão quer a transformada de Laplace da nossa função:

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s )

Bom, para isso vamos ver as funções que a gente tem na tabela de transformadas de Laplace:

Passo 2

Então vamos analisar cada termo da função para depois juntar tudo, beleza?

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s )

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + L 6 t 2 ( s )

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + 6 L t 2 ( s )

Do primeiro termo, temos a transformada de uma constante, olhando a tabela:

L [ 5 ] ( s ) = 5 1 s = 5 s

Passo 3

Do segundo termo:

L e - 2 t s

Vamos usar,

L [ e a t ] = 1 s - a

Comparando com o que temos, vemos que:

a = 2

Então,

L e 2 t ( s ) = 1 s - 2

Passo 4

Do terceiro termo:

6 L t 2 ( s )

Vamos usar,

L t n s = n ! s n + 1

Comparando com o que temos, vemos que:

n = 2

Aplicando ao problema:

6 L t 2 s = 6 × 2 ! s 2 + 1 = 6 × 2 × 1 s 3 = 12 s 3

Passo 5

Pronto, agora que já sabemos as transformadas de Laplace de todos os termos, podemos substituir na expressão.

L f t s = L 5 s - L e - 2 t s + L 6 t 2 ( s )

L f t s = 5 s - 1 s - 2 + 12 s 3

Resposta

L [ f t ] ( s ) = L [ 5 - e - 2 t + 6 t 2 ] ( s ) = 5 s - 1 s - 2 + 12 s 3