Exercícios Resolvidos de Introdução

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Enunciado

Calcule a transformada de Laplace da função:

f t = 1 - cos ⁡ t - 1 2   t sen ⁡ t

Dica: L - t   f t = d d s L { f }

Passo 1

Queremos calcular:

L f t = L { 1 - cos ⁡ t - 1 2   t sen ⁡ t }

Vamos separar essa transformada grande em varias menores que nós sabemos calcular. Pela propriedade da soma:

L { 1 - cos ⁡ t - 1 2   t sen ⁡ t } = L 1 - L cos ⁡ t - 1 2 L { t sen ⁡ ( t ) }

Vamos calcular as transformadas uma a uma.

Passo 2

Pelas transformadas tradicionais:

L 1 = 1 s

Começamos tranquilinho.

Passo 3

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

Maravilha! Estamos indo bem.

Passo 4

E essa?

L t sen ⁡ t =   ? ?

Lembra da dica que o enunciado passou pra gente? A transformada de

L t   f t = - d d s L f

Agora é a hora de usarmos ela.

Assim, para:

L t sen ⁡ t

Temos:

L t sen ⁡ t = - d d s L sen ⁡ t =

A transformada do s e n ( t ) já temos tabelada, então ficamos com

- d d s ⋅ 1 s 2 + 1 =

Vamos ter que calcular essa derivada. Podemos fazer isso pela regra do quociente.

Derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro, dividido pelo segundo ao quadrado. Ou seja

1 ' s 2 + 1 - s 2 + 1 ' 1 s 2 + 1 2 =

( 0 ) s 2 + 1 - ( 2 s ) 1 s 2 + 1 2 =

- 2 s ( 1 + s 2 ) 2

Como estávamos calculando - d d s ⋅ 1 s 2 + 1 =

Que já tinha esse sinal de menos na frente, vamos ter

- - 2 s 1 + s 2 2 =

L t sen ⁡ t = 2 s ( 1 + s 2 ) 2

Lembre-se que é a derivada da transformada, não a transformada da derivada. Não vai derivar o seno e calcular a transformada do cosseno. Primeiro a gente transforma o seno e então deriva!

Passo 5

Lembrando que

L f t = L 1 - L cos ⁡ t - 1 2 L t sen ⁡ t

Juntando tudo então:

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - 1 2 2 s 1 + s 2 2

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - s ( 1 + s 2 ) 2

Resposta

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - s ( 1 + s 2 ) 2