Exercícios Resolvidos de Introdução

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Enunciado

Calcule:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ

Passo 1

Queremos calcular:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ

Gezuis, eu não sei como calcular transformada de integral? Como viver? Calma! Vamos resolver passo a passo. Essa integral é bem calculável.

Passo 2

Olhe só:

∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = - cos ⁡ τ | 0 t = 1 - c o s ⁡ ( t )  

Já que a transformada é linear, podemos separar nas somas:

L t ( 1 - c o s ⁡ ( t )   ) = L t - L { t cos ⁡ ( t ) }

Passo 3

Então, vamos calcular uma a uma. Pelas transformadas tradicionais:

L t = 1 s 2

Tranquilinha essa né? Só olhar na tabela

Passo 4

Agora, para:

L t cos ⁡ t =   ? ?

Temos que lembrar que:

L t n f t = - 1 n d n d s n L { f ( t ) }

Para a nossa transformada queremos:

L t cos ⁡ t = - d d s L cos ⁡ t = - d d s ⋅ s s 2 + 1 =

Para calcular essa derivada vamos precisar lembrar da regra do quociente, onde faremos a derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro, dividido pelo segundo ao quadrado. Ou seja

s ' s 2 + 1 - s 2 + 1 ' s s 2 + 1 2 =

( 1 ) s 2 + 1 - ( 2 s ) s s 2 + 1 2 =

1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

Como estávamos calculando - d d s ⋅ s s 2 + 1 =

Que já tinha esse sinal de menos na frente, vamos ter

- 1 - s 2 1 + s 2 2

Então, juntando tudo:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = 1 s 2 + 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

Resposta

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = 1 s 2 + 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2